Левоинвариантные почти комплексные структуры и ассоциированные метрики на группах Ли размерности 4

• Автор: Корнев, Евгений Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 149 с. : ил.

1 Классификационные теоремы
1.1 Классификация четырехмерных алгебр Ли
1.2 Классификация левоинвариантных ортогональных почти комплексных структур
1.3 Ассоциированные и приводимые почти комплексные структуры
1.4 Вывод основных вычислительных формул
2 Случай прямого произведения
2.1 Группа 80(3) х
2.2 Группа 8Ь(2Д) х К
2.3 Группа #з х К
2.4 Группа £'(1) х К2
2.5 Группа £(1) х £(1)
3 Случай полупрямого произведения
3.1 Группа С?1
3.2 Группа С?2
3.3 Группа (?з
3.4 Группа С?4
3.5 Группа С$
3.6 Группа (?б
3.7 Группа Сч
3.8 Группа С8
3.9 Группа С?9
3.10 Группа Сю
3.11 Группа С?п
3.12 Группа (?12
4 Другие ассоциированные почти комплексные структуры и связанные с ними
метрики
4.1 Общие конструкции
4.2 Случай прямого произведения
4.3 Случай полупрямого произведения

5 Приложение
Б.а Вычисление компонент тензора Нейенхейса
5.Ь Вычисление компонент связности Леви-Чивитты левоинвариантной метрики
5.с Вычисление компонент тензора Риччи и скалярной кривизны левоинвариантной
метрики
5.(1 Вычисление базисных секционных кривизн левоинвариантной метрики

Работа посвящена изучению специальных классов почти комплексных структур на четырехмерных группах Ли и связанных с этими почти комплексными структурами левоин-вариантных метрик. Наряду с хорошо известным классом ортогональных почти комплексных структур вводятся ещё три новых класса почти комплексных структур. Первые два класса (приводимые и антиприводимые структуры) естественным образом возникают из геометрических соображений, а третий класс возникает при переносе понятия приводимой и антиприводимой почти комплексной структуры на почти комплексные структуры, сохраняющие некоторую симплектическую форму и описанные в [9]. Впервые почти комплексная структура, инвариантно действующая на паре заданных двумерных распределений, была построена в работе П. Годушона [15] при рассмотрении расслоения Хопфа 53 х 51. Обобщение такой структуры на произвольные четномерные группы Ли приводит к понятию приводимых и антиприводимых почти комплексных структур. Вопрос об интегрируемости приводимых почти комплексных структур на связных односвязных группах Ли размерности 4 исследован в [13]. Можно также отметить, что обобщенное понятие почти комплексной структуры - гиперкомплексная структура на группах Ли размерности 4 рассматривается в [8].
В работе также получены некоторые общие теоретические результаты. В частности, получена классификация ортогональных почти комплексных структур относительно заданной метрики в зависимости от ее сигнатуры и теорема об интегрируемости почти приводимой комплексной структуры на группе Ли размерности 4 к, содержащей центр размерности 2 к. Попутно исследуется вопрос о существовании на четырехмерных группах Ли левоинвариантных симплектических структур и левоинвариантных кэлеровых метрик.
Основными результатами работы являются: полное описание двух известных и двух новых классов левоинвариантных почти комплексных структур на группах Ли размерности 4, доказательство классификационной теоремы для ортогональных левоинвариантных почти комплексных структур в случае размерности 4, построение новых классов левоинвариантных римановых и псевдоримановых метрик с различными и иногда даже уникальными свойствами, вычисление различных характеристик этих метрик и описание их связи со структурой алгебры Ли группы Ли размерности 4. Важнейшим результатом является то.

Доказательство проводится так же как доказательство теоремы 2.15.
Как показано в разделе 1.3, любая структура вида (2.15) сохраняет 2-форму:
Пі =Є' Лв2 + в3 Лв*.
Из равенств (2.14) следует, что dCli = 0. Теперь из формы Пі с помощью комплексной структуры J вида (2.15), получаем риманову метрику д с фундаментальной формой Пі:
ді(Х,Х) = Пі(JX,X) = -ex2 + 2axix2 + bx - 'ix + 2a.xixi--fix.
Поскольку форма Пі - замкнута, то метрика д является кэлеровой при любых значениях параметров.
Таким образом, на группе £(1) х R2 возникает четырехпараметрическое семейство левоинвариантных кэлеровых метрик.
Найдем компоненты связности метрики д. Подставляя в (1.18) коэффициенты метрики и значения структурных констант, находим:
Гіі = —Г?2 = а2,
Г?!=ас,
Гіг = Г*2і = — Г22 — ab,
1 Г21 = Ьс,
Г12 = Ь
Подставляя найденные значения компонент связности в (1.20), находим вид тензора Риччи:
81 = Ъс{61)2-2аЪв162-Ь2{в2)2.
Как видно тензор Риччи вырождается в направлении R2. Поскольку группу E(l) х R2 можно представить в виде E(l) X 1 х R, то так же как в разделе 2.1 можно показать, что эта группа не допускает левоинвариантных не Риччи-плоских эйнштейновых метрик. Теперь, пользуясь формулой (1.21), находим скалярную кривизну метрики дії
ai = -2 b < 0.
Как видно, скалярная кривизна не имеет критических точек, следовательно тензор Риччи метрики pi не является эрмитовым, при всех допустимых значениях параметров.
Подставляя в (1.22) коэффициенты метрики 51 и значения структурных констант, получаем что все базисные секционные кривизны, за исключением {еі,ег}, равны нулю, и k(ei,e2) = —b. Поскольку секционная кривизна не зависит от выбора базиса и b > 0, то для всех X и Y из е(1) х R2,fci(X,F)
Обобщая полученные результаты, получаем следующую теорему: