О геометрии слабо косимплектических структур

• Автор: Кусова, Елена Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 100 с.

1 Структурные уравнения слабо косимплектических структур
1.1 Первая группа структурных уравнений слабо косимплектичеких структур
1.2 Вторая группа структурных уравнений слабо косимплектических структур
1.3 Первая каноническая связность
2 Вычисление компонент классичеких тензоров на пространстве присоединенной (3—структуры
2.1 Вычисление тензора Римана — Кристоффеля, дополнительные свойства кривизны
2.2 Классические свойства кривизны слабо косимплектичсского многообразия
2.3 Слабо косимплектические многообразия классов С'Д], СЯ2
и СИз
2.4 Дополнительные свойства кривизны слабо косимплектичсского многообразия
2.5 Тензор Риччи и скалярная кривизна
3 Конформно-инвариантные свойства слабо косимплектических многообразий
3.1 Тензор Вейля и конформно-инвариантные классы
3.2 Слабо косимплектические многообразия с Ф-квазииивариантиым тензором Вейля
3.3 Конформно-Ф-параконтактные слабо косимплектические
многообразия
3.4 Дополнительный конформный инвариант слабо косимплсктичсских структур

4 Конформно-плоские слабо косимплектические многообразия. Интегрируемость слабо косимплектических структур
4.1 Конформно-Ф-параконтактныс слабо косимплектические многообразия
4.2 Интегрируемость слабо косимплектических структур
4.3 Геометрический смысл равенства нулю тензоров
дг(з) и д-(4)

Актуальность темы.
Данная работа посвящена исследованию почти контактных метрических структур. Это специальные метрические дифференциальногеометрические структуры обобщающие контактные структуры, порождаемые дифференциальными 1-формами максимального ранга.
Изучение контактных структур и их обобщения — почти контактных структур началось в 50-х годах прошлого века. В 1953 году С.Черн [7] показал, что многообразие М2п+г с фиксированной контактной формой г] ■ 1] Л ф 0 в каждой точке многообразия допускает (3-структуру со структурной группой и(п) х {е}.
В 1960 году С.Сасаки в работе [28] показал, что многообразие, допускающее (3-структуру со структурной группой и(п) х {с}, внутренним образом определяет тройку тензоров (ФДд;), названную Дж.Грссм [21] почти контактной структурой, тензоры которой обладают свойствами г;(£) = 1,Ф(0 = 0, г/ о Ф = 0. Ф2 = —к1 + г] <8> £. Болос того, С. Сасаки показал, что на таком многообразии М всегда существует положительно определенная метрика д = (•,•). такая что (ФА, ФИ) = (А. У) — ?/(А)?/(У); X, У 6 Х(М) и г/(А) = (АД), дополняющая почти контактную структуру (ФД.ту) до метрической почти контактной структуры. Здесь векторное поле ^ называется характеристическим вектором, Ф - эндоморфизм модуля Х(М) называемый структурным эндоморфизмом, а 1-форма т] - контактной формой структуры.
Почти контактные и почти контактные метрические многообразия исследовались не только зарубежными авторами, такими как Д.Блэр [2], С.Тайно [29], И.Исихара [23]. но и отечественными, например Евтушик [40]. Киричснко[55].
Классификация почти контактных метрических структур была проведена впервые в работах Д.Чинья и Дж.Марреро [9]. Д.Чипья и

(ііо*? — —се? А Шт -Ь ~ /?г Л и/.
Ь к Ь О ьи
Распишем подробнее:
іішс' - -иас А ш- - ша- А Ц - Л ю? + -Л“ ^о/ Л о/ + А сдД
+ Дйг0шГ л ^' + л ш + л
С учетом формул (2 1) и (1.19) теперь можно переписать это равенство в следующем виде:
ско? = 1-СЬсшас Л ш + ВЪс^ас А ш9 + Са°СЬршд Лор + Вася 'шд Л иьг+
+ ІСаси А и>ь + -Щ д/ Л шІІ + Щ д/ Аша + Щ пшс А и>+
2 0 2 **<1 />Г(І
(2.8)
Далее, продифференцируем внешним образом формулу о из соотношений (2.1):
rfw? = dBahc Ашс + Babc Л duc + ^dCab A to + iСаЬ Л cj A wc+
+ ^CadCrbwd Aljc+ ВаЬгш° Лиjg + BahrB,4hLJg A u)h - ~Caccub А ш-
- X-Cchuac A w + ^Сп6Сышс A wrf + -C^'V A cerf
2 (2-9)
Приравняем правые части равенств (2.9) и (2.8). Приведем подобные слагаемые. Переобозначим для удобства парные индексы и сгруппируем:
(±Rld - В^ВдЫ - с*ьСс№ А о/ + Aud + А и+
+ RabcQuic А и + (~Rld + Bab[cd] - ^ca[dCr]b - ^CnbCcd)ujr A wd
(2 10)