Исследование асимптотик собственных функций в критическом случае и связанные с ним вопросы изучения спектральной плотности

• Автор: Симонов, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Оглавление
Введение
Глава 1. Асимптотика собственных векторов матриц Якоби в случае критической точки (гиперболическая ситуация)
Глава 2. Формула типа Вейля-Титчмарша для дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана
1. Сведение спектрального уравнения к Ь-диагональной системе
2. Варианты дискретной теоремы Левинсона
3. Асимптотика полиномов, функция Иоста и спектральная плотность
4. Случай 72 6 (|; 1]
Глава 3. Формула типа Вейля-Титчмарша для
дифференциального оператора Шредингера с фоновым периодическим потенциалом и потенциалом Вигнера-фон Неймана
1. Сведение спектрального уравнения к линейной системе Ь-диагонального вида
2. Варианты Теоремы Левинсона
3. Асимптотика решения !р„ и формула Вейля-Титчмарша

Глава 4. Нули спектральной плотности оператора Шредингера с периодическим фоновым потенциалом и
потенциалом Вигттера-фон Неймана
1. Дискретизация
2. Модельная задача
3. Псевдолакуны оператора Са
Глава 5. Нули спектральной плотности
дискретного оператора Шредингера с потенциалом Вигнера-фон Неймана
Литература

Введение
Пусть {а,,}! и {Ьп}=1 - две последовательности вещественных чисел, причем числа ап все положительны. Матрица Якоби 3 порожденная последовательностями {ап}™=1 и {Ьп}=1, - это оператор в пространстве £2(П) квадратично суммируемых последовательностей, действующий на вектора из области определения по
правилу
(*54)! := Ьщ + аги2,
{3и)„ О-« [ У'п--1 "4" Ьпип -р (1пип+ ], 71 2.
Относительно стандартного базиса в /2 (вектора, у которых одна из компонент равна единице, а все остальные нулевые), оператор 3 имеет представление вида

і «і О
Ь-2 а2 О а2 &з

...

В Главе 1 изучается явление изменения типа асимптотики обобщенных собственных векторов при спектральном фазовом переходе первого рода на примере модельной задачи. Рассматривается матрица Якоби Зь,ы с периодически модулированной растущей последовательностью па диагонали вида
Ьп,7, если п нечетно, Vгг7, если гг четно,
(мы также изменили знак для простоты итоговых формул, что возможно, поскольку мы можем домножать решение на произвольную константу). Теперь, подставив выражения для А, 71 и <5, а также сдвинув индекс п на единицу, мы приходим к формулам (21) и (22). Теорема доказана. □