Исследование асимптотики решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений третьего порядка

• Автор: Каюмов, Толибджан
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 142 c. : ил

ГЛАВА I. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ^'Чс^Х^ЧО
§ I. Общее исследование уравнения (1.1). •••.••
§ 2. Исследование вспомогательного уравнения
в случае *3
§ 3. Исследование вспомогательного уравнения
в случае
§ 4. Асимптотика решений уравнения (1.1)
ГЛАВА 2. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ 0
§ 5. Общее исследование уравнения (5.1) с приведением его к вспомогательному уравнению
§ 6. Исследование Вспомогательного уравнения (5.6)
§ 7. Исследование вспомогательного уравнения (5.9)
§ 8. Асимптотика решений уравнения (5.1)
§ 9. Применение полученных результатов к одному нелинейному уравнению в частных производных третьего порядка ••
ГЛАВА 3. АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ
§ Ю. Приведение уравнения (10.1) к вспомогательному и его исследование •
§ II. Асимптотика особых решений уравнения (10.1). •
§ 12. Асимптотика п.п. решений уравнения (10.1). • •
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
% X 4й- -О ПРИ

Диссертационная работа посвящена исследованию асимптотического поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений
Уравнение (I) называется обобщенным уравнением типа уравнеприложений в астрофизике (уравнения Эмдена) и в атомной физике (уравнения Ферми-Томаса),
Изучение асимптотических свойств решений существенно нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений является одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений; данный вопрос давно привлекает внимание исследователей,
В последние двадцать пять лет стали широко изучаться свойства решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений: колеблемость, монотонность, аоимптотика решений, существование особых решений и т.д. Это прежде всего объясняется тем, что многие нелинейные уравнения, описывая реальные физические процессы, приводят к новым физическим эффектам.
В качестве примера можно указать математическую теорию нелинейной теплопроводности, разработанную академиком А.А.Са-марским и его учениками [15] •
(I)
ния Эмдена-Фаулера, Частные случаи этого уравнения (чУУ-=1,
имеют ряд физических

Уравнение (I) является существенно нелинейным. Исследование различных свойств его решений даже в случае сопряжено с определенными трудностями. Тем не менее в настоящее время многие свойства решений уравнения второго порядка вида (I) хорошо изучены (см., например, работы И.Т.Кигурадзе [29] (случай VI ?1), Т.А.Чантурия [6l] (случай 0 Приведем некоторые определения, которые будут в дальнейшем использованы.
Определение I. Решение уравнения (I) назовем правильным, если оно определено в некотором промежутке [Х0 и при X£(0Ci,°o) для любого
Определение 2. Правильное решение Уравнения (I) назовем колеблющимся, если оно имеет последовательность нулей, сходящуюся к Л- 00 и неколеблющимся - в противном случае.
Определение 3. Нетривиальное решение (X.) уравнения (I) назовем особым, если оно тождественно равно нулю, начиная с некоторого значения аргумента.
Основные результаты исследования асимптотического поведения при X—правильных решений уравнения типа уравнения Эмдена-Фаулера изложены в монографиях Р.Беллмана [8] ,
Дж. Сансоне [49] , И.Т.Кигурадзе [25"] , в работах Т.А.Чантурия [б1^ , А .В .Костина [3,3,35 ] и др.
Общего метода нахождения асимптотических представлений решений для нелинейных уравнений нет. Однако для уравнений вида (I) при Ч, эффективный метод исследования разработали И.Т.Кигурадзе [25-29] , г.V.Atkinson [в],Т»А..Чанту-

вию Y (i) > 0 . Полученное противоречие доказывает
теорему 3.2.
Лемма 3.1. Пусть выполнено первое условие теоремы
3,1 И ~ < ~ ^ > A (AW О, А'Н)
Тогда уравнение (3.1) не имеет п.п. решения вида "V W ^ Vfo ~ о при ■[_ —> •
Доказательство. Пусть существуют решения, стремящиеся к нулю, т.е. Vctw 0 , VU) < 0 . Из (3.1) имеем
Um_ Г-^tл,ьчь

так как . Следовательно,
>о.
Теперь, учитывая, что У Л) < 0 , (о ^ Ь° > 0 получаем
ЛГ1" 1 у11 ,
т.е. ( (Л^ > 0 . Отсюда вытекает,что
ЖЬ - неколеблющаяся функция. Пусть V ({.) < О , тогда
4- ~>сю ( — )