Точное интегрирование нелинейных уравнений методом обратной задачи с параметром на эллиптической кривой

• Автор: Бобенко, Александр Иванович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 115 c. : ил

Глава I. МЕТОД ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ НА

ЭЛДИПТИЧЕСКОЙ КРИВОЙ

§ I. Уравнения нулевой кривизны, с параметром

на эллиптической кривой

§ 2. Уравнения Эйлера на алгебрах 0 (2>") и БО(4).

Изоморфизм интегрируемых случаев

§ 3. Обобщенная задача Римана

§ 4. Процедура "одевания". Многосолитонные

решения уравнения Лаццау-Лифшица

Глава 2. АЛГЕБРОГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ В

ТЭТА-ФУНКЦИЯХ МНОГООБРАЗИЙ ПРИМА

§ I. Дифференциалы и тэта-функции Прима
§ 2. Функция Беикера-Ахиезера
§ 3. Алгеброгеометрические решения уравнений
Ландау-Лифшица и асимметричного кирального
0(3) поля
§ 4. Интегрирование некоторых классических
конечномерных гамильтоновых систем
механики и гидродинамики
§ 5. Выделение вещественных решений
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
РИСУНКИ

Открытый сравнительно недавно Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой [бо] , метод обратной задачи (МОЗ) в результате бурного развития превратился в самостоятельную область математической физики, имеющую уже довольно богатую собственную историю [14] , [26] . Популярность МОЗ объясняется как обилием конкретных приложений к уравнениям механики, гидродинамики, физики твердого тела и других областей, так и необычайным разнообразием и красотой математических структур, возникающих в разработке теоретических аспектов МОЗ.
В настоящее время наиболее общей схемой построения нелинейных интегрируемых уравнений, включающей большинство известных случаев, является представление "нулевой кривизны"
игХ*+1илП-°> (о.»
где - матричные функции, рационально зависящие от дополнительного "спектрального" параметра X . Равенство (0.1) по X выполняется тождественно, а рассматриваемое как уравнение по Ос Д оно дает интегрируемое нелинейное уравнение. Можно сказать, что в настоящее время достаточно полно разработан МОЗ для уравнений (0.1) с его основными атрибутами: построение явных решений, нахождение различных гамильтоновых структур и бесконечной серии интегралов движения, исследование задачи Коши и т.п.
В данной работе методы построения точных решений переносятся на случай уравнения (0.1), когда параметр X меняется на эллип-

тической кривой (^ = і) . Следует отметить, что само обобщение уравнения (0.1) на случай X , меняющегося на римановой поверхности Г рода ^ > 1 » нетривиально [27] , [зз] . Трудности,
возникающие на этом пути, преодолены лишь при за счет
специального выбора вида матриц "Ц* и*Г (редукциях) ^ Простейший, но и одновременно самый важный, первый пример уравнения интегрируемого МОЗ с параметром на эллиптической кривой появился в 1979 году, когда Е.К.Склянин и А.Е.Боровик (см. [73] ) наиши представление (0.1) для уравнения Лацдау-Лифшица [35] (см. формулу (І.І.І4) в основном тексте)
Б = Б* Б + "§* I &&5г-іД-«Ц,(^І .Да>.2>
й Эгоа 7 1 2 Ъ 7 у
Именно на цримере уравнения (0.2) отрабатывались основные идеи МОЗ с эллиптическим параметром. В той же работе [7о] было показано, что уравнение Лацдау-Лифшица описывает вполне интегрируемую гамильтонову систему , и, таким образом, гамильтонова интерпретация МОЗ успешно перенесена на уравнения (0.1) с эллиптическим параметром (современную версию, основанную на теории классической X -матрицы, см. в [43] ).
С физической точки зрения уравнение (0.2) исключительно важВ работах [34] , [27] предложено два различных обобщения уравнения (0.1) на случай ^>1 , однако даже простейшие из возникающих таким образом нелинейных уравнений в явном виде пока не выписаны и физических приложений для них не найдено. Хотя при 4=1 в [34] получено интересное уравнение (Кричевера-Новикова)
VI, і-и -V — (о’* - + а
■Ь 4 8Чх_ ^

где величины Д , Е> , С , X) задаются выражениями (1.4.7),
(1.4.21), О) _ ( ^ ^ , определяет решения уравнения Ландау-
С. Ъ I
Лившица. В случае при кг~ О зависимость от пропадает, и получается хорошо известное выражение для солитона (доменной стенки):

1 ^1рГ2ск(^^+^) * >^^^^^1.4.23)
^ Х= -21^з(Хч>) ,
При произвольных , ^2L получаем двухсолитонное решение, описывающее взаимодействие солитонов, движущихся со скоростями
Ул1, (Х>)
и. «29 ——У- -Д2
Л 5 *»дОО ]

-'ъ,
Введем обозначения Д^= £ьеГ*Ч Д2= ±16. ^ч.-в^.эь+тА^В’. ,
. . 2 СМ ^
|^ =-^'•Я)^2>С^ =4 Ц? VI2СХ^") ♦ Тогда двухсолитонное
решение, соответствующее выбору знака плюс у и к^ , выглядит следующим образом:
- 21 ^ [с°г+ + (-^2+ ск^г
= ^ Чг°г°1)^,+ (1.4.24)
X =^[Ц'1)^-зА+(1°Гс01)<^(з1^г)+1+^1г+^+^] >