Нелокальные краевые задачи для гиперболических уравнений

• Автор: Бейлина, Наталья Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Нелокальная задача с интегральными условиями для псевдогиперболического уравнения
1.1 Вторая краевая задача для псевдогиперболического уравнения
1.1.1 Постановка задачи
1.1.2 Доказательство единственности обобщенного решения
1.1.3 Доказательство существования обобщенного решения
1.2 Разрешимость нелокальной задачи для псевдогиперболического уравнения
1.2.1 Разрешимость вспомогательной задачи
1.2.2 Продолжение исследования поставленной задачи
Глава 2. Обратная задача для волнового уравнения с интегральным условием переопределения
2.1 Постановка задачи
2.2 Доказательство существования обобщенного решения
2.2.1 Смешанная задача с неоднородным граничным условием
2.3 Доказательство единственности обобщенного решения
Литература

Введение
Основные понятия теории дифференциальных уравнений в частных производных сформировались при решении классических задач математической физики, возникших при моделировании различных процессов, и многие ее разделы к настоящему времени приобрели законченный вид. Классические задачи для уравнений в частных производных классифицированы и хорошо изучены. При этом, для каждого класса дифференциальных уравнений достаточно полно изучены типичные постановки задач. Например, задача Коши или смешанная задача для гиперболических и параболических уравнений, задачи Дирихле, Неймана для эллиптических уравнений. Но современные проблемы естествознания приводят к необходимости обобщения классических задач математической физики, а также к постановке качественно новых задач. Как отметил А. А. Самарский в обзорной статье “О некоторых проблемах современной теории дифференциальных уравнений” [85], одним из таких классов качественно новых задач являются нелокальные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных.
Нелокальными называют такие задачи, в которых вместо, или вместе с граничным условием ставятся условия, связывающие значения решения (и, возможно, его производных) во внутренних точках области или в точках границы и каких-либо внутренних точках. Подобные задачи возникают при
Введение
математическом моделировании процессов различной природы, например, влагопереноса, теплопроводности, при изучении задач математической биологии, задач управления и других [66].
За последние несколько десятилетий появился ряд работ, посвященных исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Одной из первых была статья A.B. Бицадзе и А. А. Самарского [23], в которой были предложены новые постановки задач для эллиптических уравнений и которая стала отправной точкой большинства исследований в этом направлении.
Исследованию нелокальных задач для дифференциальных уравнений в частных производных посвящены работы А. А. Дезина [31], В. А. Ильина [40], Е. И. Моисеева [42, 40], А. К. Гущина [29, 30], А. М.Нахушева [63, 64, 65], А. Л. Скубачевского [86, 87, 88], В. И. Жегалова [34], А. И. Кожанова [48, 51,
52], К. Б. Сабитова [83, 84], А. Н. Зарубина [35], O.A. Репина [77, 78, 79],
Н. И. Иванчова [39], Л. С. Пулькиной [73, 74, 75, 76] и других авторов.
Одним из классов нелокальных задач являются задачи, содержащие условия, заданные в виде линейной комбинации значений искомой функции и ее производных в различных точках границы. Такие условия называют краевыми условиями со смещением. В. А. Стеклов [89] для уравнения p(x)ut = ихх — q{x)u при начальном условии и(х, 0) = т[х) выделил 2 класса задач. К первому классу относилась задача с условиями
aiu(a,t) + a2ux(a,t) + a3u(b,t) + a bxu(a, t) + b2ux(a, t) + b3u(b, t) + bux(b, t) = 0;

1.1 Вторая краевая задача для псевдогиперболического уравнения
Подставляя полученные выражения в (1.33), приходим к равенству

! [{и{,х,т))2+ с{х,т){и{х,т))2 + (и%(х,т))2] (1х+ о
т I т I I
2а I /ихЛх<1г = 2 / / Мх,г)и%(х,г)с1хсИ + у (и%(х,0))2(1х+
0 0 0 0 о

+ J(“як®’ 0))2с1х + J с(х,0)(и(х,0))2(1х+ о о

I У (х,1))2с1х(И — £ У с<(ж,«лг(а:,)м(а:,1). (1.34)

0 0 0 0 Оценим последнее слагаемое.

2 У У с4(ж, (х, Ь)и(х, Ь)йхсИ <

У J (uN(x,t))2dxdt + У У c2(x,t)(u(x,t))2dxdt,

7" / ТІ

Заметим, что

г(х, і) = У и?(ж, 0)dв + иы(х, 0).

Возведем обе части этого равенства в квадрат, применим к правой части неравенство Коши - Буняковского, получим

(гЛ(х,*))2 < 2Т У ((ж,0))2 + 2(И(Ж,О))2.