Особенности множества транзитивности

• Автор: Курбацкий, Алексей Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 75 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Основные результаты
1.1 Кривые на плоскости
1.1.1 Выпуклые оболочки кривых на плоскости
1.1.2 Особенности границы зоны транзитивности на плоскости
1.2 Кривые в пространстве
1.2.1 Выпуклые оболочки пространственных кривых
1.2.2 Особенности границы зоны транзитивности, заданной пространственной кривой
1.3 Поверхности в К
1.3.1 Выпуклые оболочки поверхностей в К
1.3.2 Особенности границы зоны транзитивности, заданной поверхностью в К
2 Основные конструкции и вспомогательные утверждения
2.1 Преобразование Лежандра кривых и поверхностей
2.2 Преобразование Лежандра для поверхностей и кривых с краем
2.2.1 Опорные плоскости
2.2.2 Двойственные поверхности
2.2.3 Принадлежность начала координат границе выпуклой оболочки
2.2.4 Устойчивые особенности границы зоны транзитивности
3 Доказательства теорем 1-11

3.1 Доказательства теорем 1-3 (плоские кривые).
3.2 Доказательство теоремы 4-6 (пространственные кривые) . .
3.3 Доказательство теоремы 9 (замкнутая поверхность).
3.4 Доказательство теорем 7,8,10,11 (поверхности с краем)

Введение
Диссертация посвящена одному из основных актуальных вопросов геометрической теории оптимального управления, представляющих интерес не только в теории, но и в многочисленных практических задачах. Это вопрос об управляемости системы, то есть возможности иметь желаемый процесс или возможности достичь конечного результата с помощью допустимых управлений. Такое исследование, как правило, предшествует задаче нахождения оптимального управления. В частности, многочисленные публикации посвящены различным случаям необходимых и достаточных условий локальной управляемости систем, то есть существованию управления, при котором за малое время система переходит из некоторого начального состояния в близкое конечное. Подобными вопросами занимались как классики теории динамических систем и оптимального управления Андропов А. А., Понтрягии Л. С., так и современные известные математики Мышкис А. Д., Аграчев А. А., Сарычев А. В., Давыдов А. А. и другие. В книге Давыдова [29], вышедшей в 1994 году, изучались типичные особенности множества управляемости и различные смежные вопросы. По-видимому, это первая книга посвященная связи теории управления с теорией особенностей, основы которой заложил В. И. Арнольд.
Управляемая система на многообразии М задается системой дифференциальных уравнений
х = /(ж, и),
где х € М, управление и принадлежит некоторому подмножеству В С КА:, и /(ж, и) - гладкое отображение произведения М х В в пространство ТМ касательных векторов на М. Другими словами, с геометрической точки зрения управляемая система является семейством индикатрис 1Х, представляющих собой для каждой точки х множество допустимых скоростей
Ь = {/(*, ■)}•

работах [27],[14]. В частности, в них содержится следующее утверждение, которое, впрочем, легко получить и непосредственно.
Утверждение 7. В семействах общего положения пространственных кривых гт, зависящих от т,рех параметров т = (х,у,г) росток в произвольной точке кривой в некоторой подходящей аффинной системе координат (щ, 42,4з) с началом в этой точке имеет одну из следующих форм:
1) 41 ~ 42 = £2 + - ■ •) <7з = + • • • ~ невырожденная тючка
коразмерности 0 (тип АД;
2) с[ = 7, = 72 + ..., <уз = £4 + •. - - точка простого уплощения
коразмерности 1 (тип );
3) щ = 7, (?2 = £2 + • • •, <7з = ^ + ■ ■ •, где к — 5,... - точка крат-
ного уплощения коразмерности к — 3 (типа Ак~), которая встречается неустранимым образом в точках кривой гт, зависящей от > к — 4 параметров;
4) 0.1 = £) 42 = £3+- • ■) <7з = £*+• • V где к — А,... точка. коразмерности к — 2, то есть впервые появляющаяся в изолированных точках кривой при не менее, чем к — 3 параметрах;
5) = 7, (72 = 74 + • • •, <7з = + • • • - точка коразмерности 4,
то есть встречающаяся неустранимым образом в изолированных точках кривой для изолированных значений трех параметров.
Здесь под коразмерностью мы понимаем коразмерность соответствующего класса в пространстве ростков (струй) в фиксированной точке _?-ЛГ(1,3). Многоточием обозначены члены высших порядков малости по 7.
Росток в точке (} касательной плоскости к кривой назовем регулярным, если в этой точке кривая имеет особенность типа А2 или Аз, и плоскость не является соприкасающейся, то есть координатной плоскостью ((/1,(72) в указанных выше координатах.
Отметим также, что в типичном случае в пространстве параметров может существовать подмножество коразмерности 1, отвечающее кривым г„,, имеющим точки самопересечения.
Утверждение 8. Для семейства, зависящего от трех параметров, пространственных кривых общего положения, если О принадлежит некоторой опорной плоскости Р, то эта плоскость:
1. во всех точках носителя Бр либо регулярна, либо является соприка-