Устойчивость томсоновских вихревых многоугольников вне круговой области

• Автор: Островская, Ирина Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Общая характеристика работы
и История решения задачи устойчивости томсоновских вихревых многоугольников
111 Методы исследования и результаты теории устойчивости равновесий гамильтоновых систем, используемые в диссертации
К Краткое содержание работы
Глава 1. Постановка задачи и формулировка результатов
Глава 2. Линейный анализ устойчивости правильного вихревого п-угольника вне круговой области
2.1 Метод линеаризации
2.2 Разложение относительного гамильтониана в ряд Тейлора .
2.2.1 Члены первой степени
2.2.2 Члены второй степени
Глава 3. Критический случай двукратного нулевого корня (жор-данова клетка) при д — д*п для та = 2, 4, 6
Глава 4. Нелинейный анализ устойчивости томсоновского вихревого пятиугольника
4.1 Нормализация квадратичной части гамильтониана. Построение приведенной системы

4.2 Устойчивость в нерезонансных случаях при д € (доб, 4.2.1 Нормализация приведенного гамильтониана
4.2.2 Применение теоремы Брюно в случае q € (доб, 9*5) {9*}
4.2.3 Коэффициенты формы третьей степени приведенного
гамильтониана
4.2.4 Коэффициенты формы четвертой степени приведенного гамильтониана
4.3 Резонансные случаи устойчивости вихревого пятиугольника
4.3.1 Критический случай двукратного нулевого собственного значения: д = доб
4.3.2 Критический случай двукратной пары чисто мнимых
собственных значений: резонанс 1 : 1, д = д*а
4.3.3 Критический случай резонанса 1:
Заключение
Список литературы

Введение
1 Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации. Модель системы точечных вихрей интенсивно исследуется со второй половины XIX века. Лорд Кельвин (У. Томсон) [116] на её основе строил свою вихревую теорию атома. В последнее время эта математическая модель оказалась востребованной в физике плазмы [81,83] и при исследовании вихрей в сверхтекучей жидкости [124,125].
Эта простейшая модель вихревой динамики кажется наиболее доступной для полного и глубокого исследования. Она изучалась многими авторами (лорд Кельвин, В. Гребли, Т. X. Хавелок, X. Ареф и др.) с разных точек зрения (см. обзоры [5,16,18,47,61,70]). Значительный прогресс в этой области достигнут в последние годы благодаря применению методов современной теории динамических систем [65]. Здесь имеются в виду прежде всего вопросы качественной теории: интегрируемость, неинтегрируемость, устойчивость, бифуркации, возникновение и развитие хаотических движений и др. В результате количество работ по теории точечных вихрей поистине необозримо и постоянно растёт.
Вместе с тем, многие классические конфигурации долгое время оставались и остаются недостаточно исследованными.
Задачу устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, расположенных равномерно на окружности (томсонов-ского вихревого п-угольника), поставил Кельвин (У. Томсон). Имеются ее обобщения на случаи вихрей внутри или вне круговой области. Все эти

п=2 5оо — 5*
п=4 5оо = 5*
п=5 5оо — 5о5 ~ 0.330
51 з ~ 0.332613, 5х з ? а 0.333
91 2 = д* и 0.333377, 51 2 « 0.334
5112 ~ 0.334591, (д ! те 0.334554, дц = д*
п=6 5оо — 5*
Таблица 4. Критические значения параметра q отвечающие резонансам: доо - двукратный диагонализирумый ноль, т - резонанс к : т, символ шапочка д - недиагонализируемый случай.
Критическое значение до5, соответствующее двукратному нулевому собственному значению матрицы линеаризации, является корнем полинома
<2.5 = - ЗЗд12 - ЭЭд11 - 128 + ЗЗЗд6 + 256д5 + 165д4 + 60д3 + 2д2 - 9д - 3.
Устойчивость по Раусу при 0 < д < qon следует из положительной определенности гамильтониана линеаризованной приведенной системы. Неустойчивость при условии д*п < д < 1 доказана Т. X. Хавелоком [85] — соответствующая линеаризованная система имеет экспоненциально растущие решения.
При четном п — 2, 4, 6, когда q = q^,n (см. рисунок 10), в задаче устойчивости имеет место критический случай двукратного нулевого собственного значения (недиагонализируемый случай). Доказательство неустойчивости, проведенное в главе 3, потребовало применения результатов работы А. Г. Сокольского [60].
Случай п = 5 рассмотрен в главе 4, получены следующие результаты. Доказана формальная устойчивость по Ляпунову приведенной гамильтоновой системы четырех степеней свободы в нерезонасном случае, когда Я £ {Яоь-,Я*5){я*}- Проведенное в разделе доказательство состояло в проверке условий теоремы Брюно [8].