Геометрия абелевых многообразий и римановых поверхностей и нелинейные уравнения

• Автор: Дубровин, Борис Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 270 c. : ил

Введение, У ,■ У У У У У * У , У У • • У У У « У У

ГЛАВА I, Необходимые сведения из теории тэта-функций и

римановых поверхностей У У г , У У У г У у *’

§ 1,1, Общие свойства многомерных тэта-функций,:. •

§ 1,2, Тэта-функции римановых поверхностей и задача

обращения Якоби,' У * У , , У , ,

§ 1,3,; Вещественные римановы поверхности и их тэтафункцииУ , • , ,: • , ,: , , У ,: , , ,: , У ,'45

§ 1,4, Функции Бейкера-Ахиезера и их применения в

нелинейных уравнениях , , , , *! , •;

Глава II, Эффективизация тэта-функциональшх методов теории

солитонов,” , , У , ,; У ,: У У У У У У У У , У

§ 2,1,, Постановка проблемы эффективизации У , У У ,: §1
§ 2,2, Уравнение КдФ - род ^ = £ « в: У У У У У *64
§ 2,3, Дисперсионные соотношения для уравнения КП
при^=ДЗ, Решения уравнения Буссинеска ,
§ 2,'4,: Условия вещественности построенных решений уравнении КП и связанных с ним уравнений КдФ
и Буссинеска , , , У , У у , У ,
§ 2,5, Зффективизация тэта-фунщиональных формул
для других нелинейных уравнений У , у , ,113 Приложение к главе П, Эффективное описание всех гладких вещественных двухзонных решений уравнения 11п£-(Яо*и:1оП
Глава III, Методы теорш нелинейных уравнений в проблеме Римана-Шоттки , , , , , , у , ,< , у у у § 3,1, Постановка проблемы Римана - Шоттки и формулировка гипотезы С,П,Новикова , У , ,: , ,128

§ Зу2у Доказательство теоремы 3.1,1 У У у у у . У у у
§ ЗуЗу Некоторые следствия У , У * у у , у у у ,
Глава IVУ Тэта-^ункциональные методы в спектральной теории матричных конечнозонных операторов и связанных с ними нелинейных уравнений у , у . у у У у * , у у § 4у1у Сведения о нелинейных уравнениях, связанных с матричными диоференциальными операторами у у § 4у2у Простейшие спектральные свойства матричных
операторов с периодическими коэффициентами у у § 4уЗу Свойства спектра матричных конечнозонных операторов У у у У у У У • »; у V у У У У У у у У
§ 4У4У Аналитические свойства собственных функций
матричных конечнозонных операторов у у у у § 4,;5, Построение (комплексных) конечнозонных матричных операторов.1 у у У . У у у • • у • • • у § 4у6у Выражение коэффициентов конечнозонных операторов через тэта-функции у , У у у у у ,
§ 4У7у Критерий 3 - самосопряженности конечнозонных операторных пучков у у у у , • • у у у , Литература у. * у у у. у у . у , у , у у у у у у у у У У у у

Одной из вершин классической теории функций явилось создание в XIX веке теории абелевых функций, центральной частью которой было построение и изучение свойств тэта-функций многих комплексных переменных** Тэта-функции одного переменного (называемые также эллиптическими тэта-функциями) были, в основном, изучены Якоби; их многомерные обобщения строились Б связи с нуждами теории алгебраических функций и абелевых интегралов рода 2 Гепелем [13 и Розенхайном С 2 3 у Однако свой законченный вид, почти не изменившийся вплоть до настоящего времени* теория многомерных тэта-функций приобрела в основополагающих работах Римана (см#; в [3] )у Результаты и метода этих работ применялись самим Риманом, а также Вейерштрассом, Кенигсберге-ром, Шоттки, Примом и др',1 для изучения свойств алгебраических функций комплексного переменного# Нашей целью здесь не является детальвое обсуждение истории развития теории алгебраических и абелевых функций в XIX веке; ему по этому поводу [41 , [5 3 у! Отметим особо лишь работы, посвященные приложениям тэта-функций к интегрированию нелинейных уравнений»: Первое такое приложение было найдено Вейерштрассом С 6 3 , который показал, что решения задачи о геодезических на трехосном эллипсоиде, проинтегрированной Якоби методом разделения переменных, выражаются через тэта-функции двух переменных.: Одним из самых ярких достижений в облаг-сти приложений тэта-функций явился цикл работ СуВуКовалевской [7] , [8] , обнаружившей новый случай интегрируемости движения тяжелого твердого тела с закрепленной точкой и решившей уравнения движения для этого случая через двумерные тэта-функцииу Работы СУВуКовалевской были завершены Кеттером [9] , который выраг-

§ 1*4, функции Бейкера-Ахиезера и их применения в нелинейных уравнениях
функции на римановой поверхности, допускающие существенные особенности экспоненциального типа - так называемые функции Бей-кера-Ахиезера (БА), возникали еще в прошлом веке в работах Клеб-ша и Гордана как естественное обобщение класса мероморфных функций, Однако систематическое использование функций БА для интегрирования нелинейных уравнений и решения, обратных задач спектральной теории операторов было начато лишь в самое последнее время (см, обзор литературы по этому вопросу в Г433 ),': Современное определение функций БА было дано И,‘М,:КрИчевером [40] на основе обобщения аналитических свойств блоховских собственных функций операторов с периодическими и почти периодическими коэффициентами,! Приведем здесь это определение, перечислим простейшие свойства функций БА и необходимые для дальнейшего примеры их использования в теории операторов и нелинейных уравнений,;
Определение _1*^4.:1у Пусть Ц,Р - точки на римановой поверхности Г , ~ локальные параметры в окрестностях этих точек (где к/ (Р{) = , п (к) о, (к) - набор
многочленов, X - дивизор на Г (Р иОР ) , п - точечная (скалярная, ранга I - см,; [43] ) функция БА, задаваемая этими данными - это мероморфная на Г С/Рп ) функция(р(Р)
такая, что: а) дивизор ; б) при Р->р произведение
ПР)еоср(-ц,{Оч СР))) аналитично ( г=} п) ,
Мы будем коротко говорить, что функция р имеет полюсы в точках дивизора X) и существенные особенности вида ехр С АО , ... , еоср с,п(к) в точках ^ ,... э Рп
соответственно,.