Вопросы разрешимости абстрактных дифференциальных уравнений с дробными производными Римана-Лиувилля

• Автор: Авад Хамед Камаль Мостафа
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Белгород
• Количество страниц: 103 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Глава 1. Вспомогательные сведения и обзор результатов

1. Исторический обзор

2. Специальные функции

3. Дробные интегралы и производные

4. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве

5. Формулировка основных результатов диссертации

Глава 2. Возмущение абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римана-Лиувилля
6. Возмущение абстрактного дифференциального уравнения, содержащего дробные производные Римана-Лиувилля, переменным оператором

7. Возмущение типа Миядеры

8. Метод квазиобращения для дифференциального уравнения дробного порядка

Глава 3. Дифференциальные уравнения дробного порядка с переменным оператором
9. Постановка задачи
10. Эвристические рассуждения
11. Решение интегрального уравнения (10:6)
12. Исследование интегрального уравнения (11.9)
13. Исследование формулы (11.10), определяющей решение интегрального уравнения (10.6)
14. Теорема единственности
15. Формулировка основных результатов
16. Пример
Глава 4. Возмущение абстрактных дифференциальных уравнений, содержащих дробные производные Римана-Лиувилля, нелинейным оператором
17. Постановка задачи
18. Задача типа Коши для возмущенного нелинейным оператором уравнения дробного порядка
19. Нагруженное дифференциальное уравнение дробного порядка
20. Обратная задача для дифференциального уравнения дробного порядка.
Список литературы

Глава l
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ И ОБЗОР РЕЗУЛЬТАТОВ
1. Исторический обзор
dPfit)
Мысль об обобщении понятия дифференцирования —на нецелые значения р возникла с самого зарождения дифференциального исчисления. Первые шаги были сделаны Эйлером Л. в 1738 г., Лапласом П. в 1812 г., Фурье Ж. в 1822 г. Собственно историю дробного исчисления следует вести с работ Абеля Н.Х. и Лиувилля Ж., появившихся в 30-е годы 19 века. Рядом с работами Лиувилля Ж. по значимости следует поставить работы Римана Б., который пришел к конструкции дробного интегрирования, служащей с тех пор одной из основных форм дробного интегрирования.
Развитие области математического анализа, называемой дробным исчислением, и посвященной исследованию и применению производных и интегралов произвольного (действительного или комплексного) порядка, обусловлено проникновением и взаимосвязями с самыми разнообразными вопросами теории функций, интегральных и дифференциальных уравнений и др.
История развития дробного интегродифференцирования знает немало работ, в которых в разное время переоткрывались уже известные результаты, иногда теми же самыми средствами, что и у предшественников, иногда па основе других методов. Это обстоятельство усугублялось тем, что существует большое число различных подходов к дробному интегродифференцированшо п, следовательно, различных направлений в дробном исчислении. Сопоставление этих подходов и направлений проводилось редко н было сравнительно мало известно. Важным шагом в развитии стала книга [42], написагшая Самко С.Г., Килбасом A.A. и Маричсвым О.И. "Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения", которая объединила разные исследования в направлении по изучению дробных производных и интегралов.
В последние годы возрос интерес к исследованию так называемых дифференциальных уравнений дробного порядка, в которых неизвестная функция содержится под знаком производной дробного порядка. Это обусловлено как развитием самой теории дробного интегрирования и дифференцирования, так и приложениями таких конструкций в различных
областях науки. В связи с этим мы приведем список монографий и обзорных статей по этой тематике: [70], [68], [52], [59], [71], [61], [67], [35], [36], [66], [39], [40], [63].
В частности, среди вопросов, которые рассматривались в книге [68] отметим следующие: нахождение линейно независимых решений однородного дифференциального уравнения дробного порядка, определение дробной функции Грина, сведение исследования разрешимости дифференциального уравнения дробного порядка к исследованию разрешимости обыкновенного дифференциального уравнения целого порядка. Кроме того, в этой книге изучены интегральные уравнения дробного порядка, дробные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами и др.
Дальнейшему развитию дробного исчисления способствовали книги Нахушева A.AI. [35], [36]. В этих монографиях изложены мысли и идеи, которые возникли у автора в процессе поиска методов решения различных, как локальных так н нелокальных начальных, смешанных и краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных основных и качественно новых типов. В этих же книгах указано, что основой большинства математических моделей, описывающих широкий круг физических и химических процессов, протекающих во фрактальных средах, при математическом моделировании экономических и социально-биологических явлений, являются дифференциальные уравнения дробного порядка, в том числе уравнения в частных производных. Поэтому развитие аналитического аппарата теории уравнений с частными производными дробного порядка является весьма актуальной и важной задачей.
Псху A.B. в своих книгах [39], [40] проводит исследование линейных уравнений с двумя независимыми переменными порядка меньше либо равного единице. Автор изучает свойства интегрального преобразования с функцией Райта в ядре и показывает его применения. Одним из важных применений этого преобразования является метод решения начальных задач для эволюционных уравнений дробного порядка, который позволяет редуцировать их к соответствующим задачам для уравнений целого порядка. К другим эффективным приложениям данного преобразования относятся утверждения о распределении вещественных нулей у функции типа Миттаг-Леффлсра, неравенства и соотношения для функции типа Райта, вычисление некоторых интегралов от специальных функций.

Учитывая (6.24), по индукции получаем
1КМ-»„-1(011 <** М• П6Л <«■*>
Действительно, пусть формула (6.25) верна при п = т. Тогда из (6.5), (6.23) и предположения индукции получаем

||гот-н(г) - гит(Щ < J ! /тЛ* - 5) \В{ЩАТ) (гУт(«) - Шт-гО?))!! Лт(к <

^ —М!± + Гт(у(г 7))Ы1 I Г _ в^Т-7втК1-7)-1е«а« ^
Г(тш/(1-7)) У У ' о и
772521 Г-И1--у)) 11вд11 _аГ(1-,ы^«-,).Л. Л.
С.»1МГИГ^4(К1-7)) е«
Г((т + 1И1-7)) ' ' " ’
что и доказывает формулу (6.25).
Следовательно, ряд

^ (Мп(*) - Юп-1(*)) га—
сходится равномерно в любом интервале [ф, П], 0 < ф < Д. Поэтому го„(/,) па том же промежутке равномерно сходится к непрерывной на [£о>П] функции ю((), которая удовлетворяет интегральному уравнению (6.21). В силу (6.25) для нее справедлива оценка

М*)И < _ шп-1(*)11 <

^ ^ Ск+1м$+1 ГА'+У(1 - 7)) #+1М1"7Ые«4Д ||ц0|[ ^
Г((Л: + 1М1 - 7))

^ СМ2 Г(1/(1 - 7))

СкМ% ГД/Д1 - 7)) 4М1->) ||и0||
Г(Й1/(1 - 7) + 1/(1 - 7))

= СМ2 Г(г/(1 - 7)) (СМ2 Г(,/(1 - 7)) ^1-т)) |Ы|,
где Е^р(-) — функция типа Миттаг-Леффлера, I Е [^0^1], 0 < < ^г-