Оценки линейных функционалов в классе ограниченных функций, не принимающих нулевого значения

• Автор: Романова, Светлана Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 105 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ В
§ 1. Дифференциальные уравнения типа Левнера
§2. Формализация экстремальных задач в классе В
§3. Общий вид коэффициентов для экстремальной функции линейного
непрерывного функционала
§4. Асимптотические оценки линейных функционалов
Глава 2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ
ФУНКЦИОНАЛОВ В КЛАССЕ В
§5. Необходимые условия локального экстремума для канонических
функций
§6. Достаточные условия локального экстремума для канонических
функций
§7. Достаточные условия локального максимума для канонических функций
в случае п=2,3,4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Проблема оценки тейлоровских коэффициентов в различных классах аналитических функций является одной из центральных в геометрической теории функций комплексного переменного.
В данной диссертации рассматривается класс В - аналитических в единичном круге
£> = {г:Н<1}
функций / с разложением
Дг) = а0+а1г + ..., которые удовлетворяют в О условию:
0<|/(2^1.
Задача об оценке коэффициентов заключается в определении эир Ы.

Существование экстремальной функции для этой задачи очевидно, поскольку В представляет собой нормальное семейство, которое становится компактным, если к нему присоединить функцию /(г) = 0. Так как функция, тождественно равная нулю, не может давать решения задачи, то экстремальная функция принадлежит классу В.

Ясно, что тахЫ = 1. Оценка для первого коэффициента появилась в [!] в

1932 году и в явном виде доказана в [2]. Для а21 точная оценка была получена во многих работах (см. [3], [4]).
В 1968 году Кшиж [5] высказал гипотезу об оценке коэффициентов в этом классе функций, а именно, он предположил, что
В 1977 году Хамел, Шейнберг, Зальцман [3] вариационным методом получили оценку для |аг3|. Позднее Браун [13], Делин Тан [42], Эрмерс[8] и
использование компьютерных вычислений. Оценку для пятого коэффициента получил Самарис [39].
Кроме того, тривиальная оценка |а„| 21 ,п = 1,2,... была улучшена Хоровицем [7]
с равенством для функций вида №(кг"), где [Я| = |*| = 1 и

другие доказали, что тах|а4| = -. Во всех этих работах было значительное
|а„|51—- + -8Ш— =0.9998... 1 Ъп 71
и в [8] получено незначительное улучшение этой оценки
.,4 4
а„ 2- + — вт— = 0.9991
1 5 л

Но обе эти оценки довольно далеки от - = 0.75

Доказательство:
В силу связи класса В(1), 1>0, с классом Р и описанием множества граничных значений для аналитических функционалов в классе Р [24, с. 124] экстремальная функция /* е В(1) задачи (1.8) существует и содержится во множестве функций
/(г) = ехр|- Лк > 0,и„е [0,2л-), к = 1 (1.13)

^Лк = ,т<п + 1.

Каждая функция/ заданная формулой (1.13), является значением при 1-1а интеграла дифференциального уравнения (1.2) с постоянными А,,..., Лт и и, .
Дифференциальное уравнение (1.2) взаимно однозначно связано с системой (1.12). Следовательно, некоторый набор постоянных Л1,...,Лт и является
оптимальным управляющим вектором в задаче (1.8), (1.12).
Осталось показать, что т < п. Предположим, что т=п+1. Тогда найдется

набор положительных постоянных А, £Л*=1, и различных постоянных

е [о,2л), удовлетворяющих необходимому условию максимума в задаче (1.8). В частности, для каждого / е [о,/0] точки являются
точками максимума функции Гамильтона (1.9).Условие = е' обеспечивает невырожденность функции Гамильтона, которая представляет собой тригонометрический многочлен точной степени п. Поэтому функция