Некоторые вопросы приближения целыми функциями

• Автор: Мамадов, Рашид
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 77 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. О связи наилучших полиномиальных приближений целых трансцендентных функций и их основные характеристики
§1.1. Основные сведения о целых функциях и характеристические величины целой функции конечной степени
1.1.1. Определение характеристических величин целой функции
1.1.2. Связь между ростом целых функций и скоростью убывания коэффициентов их степенного разложения
§1.2. О шкалах характеристики целых функций в пространстве В2)7, определяемых через наилучшее полиномиальное приближение . §1.3. О характеристиках целых функций в весовом пространстве
-В?>7,1 < д < оо
§1.4. Об обобщенном порядке роста целых функций и их связь с полиномиальной аппроксимацией целых функций в весовом
пространстве Бергмана
Глава II. Классы целых функций конечной степени и их наилучшее приближение в весовом пространстве
Бергмана Вяп, 1<д<оо
§2.1. Определение классов Бернштейна Ва и Винера-Пэли Иф и
наилучшее приближение в этих пространствах
§2.2. Основные теоремы о наилучшем приближении целых функций §2.3. О наилучших среднеквадратических приближениях целыми
функциями экспоненциального типа в Гг (7?)
§2.4. Точные значения средних поперечников некоторых классов
функций
Литература

Введение
Теория приближения целыми функциями является одним из наиболее активно развивающихся направлений в современной математике, имеющая важные приложения в различных ее областях.
Бурное развитие этой теории в действительной области благодаря работам С.Н.Бернштейна [5] Н.Винера и Н.Пэли [16], Н.И.Ахиезера [2], С.М.Никольского [33] в пятидесятых годах прошлого столетия, побудило интерес к ее проблемам в комплексной области. Позже, работами М.В.Келдыша [25], Дж.Кореваара [26], Р.П.Боаса [7], И.И.Ибрагимова [19;20], И.И.Ибрагимова и Н.П.Шихалиева [23;24], Ф.Г.Насибова [32], С.Б.Вакарчука [8-15], полностью сформулировалась теория наилучшего приближения целыми функциями как раздел теории функций в комплексной области.
В последнее время методами функционального анализа во многих вопросах найден общий подход к проблемам теории приближения функций целыми функциями, благодаря чему удалось объединить многочисленные исследования этой теории в различных банаховых функциональных пространствах. Отметим, что теория приближения на всей оси В. = (—оо, +со) целыми функциями по характеру и качеству результатов не уступает соответствующей теории полиномиального приближения на конечном промежутке [а, Ь]. Первые результаты, связанные с полиномиальной аппроксимацией целых трансцендентных функций, были получены С.Н.Бернштейном в случае равномерного приближения алгебраическими многочленами действительной на отрезке [—1,1] функции /(а;), которая являлась сужением на [—1,1] целой трансцендентной функции /(г) (см.,например, [5], стр.176). Это в дальнейшем дало
своеобразный толчок к исследованию связей между характеристиками роста максимума модуля целой трансцендентной функции и скоростью стремления к нулю последовательности ее наилучших полиномиальных приближений в С[—1,1] (см.,например, [36]). Распространение указанных исследований на случай произвольной замкнутой области в комплексной плоскости С было начато А.В.Батыревым [4] и продолжено в работах других математиков. М.Н.Шеремета [48;49] обобщил классические характеристики

роста целых функций. С.Б.Вакарчук и С.И.Жир [13;14], используя введенные М.Н.Шереметом [48] обобщенные характеристики роста, получили ряд содержательных результатов в этом направлении.
Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию исследований, начатых в указанных работах. Перейдем теперь к краткому изложению содержания диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Используется тройная нумерация теорем, лемм, следствий и формул, в которой первый номер совпадает с номером главы, второй указывает на номер параграфа, а третий — на порядковый номер теорем, лемм, следствий или формулы в данном параграфе. Положим
В первой главе диссертации установлены новые связи между наилучшими полиномиальными приближениями
целой трансцендентной функции /(г) и такими ее важными характеристиками, как порядок роста и тип целой функции в весовом пространстве 1 < д < оо с конечной нормой
Еп{/)вч<1 = іпБ {||/- р„_і||вм Рп-1(*0 Є Тп-1}
МдігіЛ = / 1(геи)9М, 1<д<оо.
2,ТГ

Напомним, что порядок р и тип а целой функции
/00 = Е ск*к
определяются равенствами

оценка
Ы<е{ [ Г7(г)г| { / Г7(г)М9(г, /)(1г . (1.3.6)
[1-1/« ) 11-1/»
Равенство в (1.3.6) достигается для функции фо(г) = гп, п Е N.
Доказательство. Так как согласно максимальной теореме Харди [47] величина Мд(г, /) возрастает с возрастанием г для у > 1, то из формулы Тейлора для коэффициентов
= 2_ / Mde = ±JÜLfï
2т. J £п+1 2їг / (relt)n
|£|=Г U v

получаем
cn < r~nM(r, f) < r~nMq(r: /) <
Ґ 1 -ХІЧ Г 1 Л V»
В полученном неравенстве, полагая г = 1 — 1 /п, приходим к неравенству (1.3.6), чем и завершаем доказательство теоремы 1.3.4.