Устойчивость и неустойчивость по Уламу функциональных уравнений и приложения

• Автор: Файзиев, Валерий Авганович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 365 с.

Оглавление
1. Введение
Часть 1. Об устойчивости функциональных уравнений на группах и полугруппах
Глава 1. О (ф, 7)-устойчивости аддитивного уравнения Коши
1. Пространство (ф, 7)— псевдоадцитивных отображений
2. Устойчивость
3. Полупрямые произведения и разрешимые группы
Глава 2. О пространстве (V;-7)—пссвдойенсеновых функций
1. Пространство (ф, 7)—псевдойенсеновых функций
2. Устойчивость
3. Теорема о вложении
Глава 3. О (ф, 7)-устойчивости квадратичных отображений
1. Введение
2. Предварительные результаты
3. Устойчивость
4. Вложение
Глава 4. О устойчивости уравнения Дригаса на группах
1. Устойчивость
2. Теорема о вложении
Глава 5. Об устойчивости уравнения Уайтхеда 1^
1. Разложение
2. Устойчивость
3. Вложение
4. Неабелевы группы
Глава 6. Об устойчивости уравнения типа Иенсена на группах
1. Введение
2. Предварительные факты
3. Устойчивость
4. Некоторые классические группы:
GL(n, C),SL(n, С), Т(в, С)
5. Теорема вложения
Глава 7. Об устойчивости обобщенного уравнения Коши на группах
f{xnyn) - nf{x) - nf(y)
1. Предварительные результаты
2. Устойчивость
3. Мстабелсвы группы

4. Сплетения
5. Теорема вложения
Часть 2. Квазихарактеры и псевдохарактеры на группах и полугруппах
Глава 8. Определение и свойства псевдохарактеров
Глава 9. Свободные произведения полугрупп
1. Псевдохарактеры свободных произведений полугрупп
2. Квазихарактеры и псевдохарактеры полугрупп с инволюцией
3. Типовая полугруппа
Глава 10. Свободные произведения групп
1. Предварительные сведения
2. Псевдохарактеры свободных произведений групп
Глава 11. Квази- и псевдохарактеры на свободных полугруппах
1. Предварительные утверждения относительно свободных
полугрупп 1S
2. Описание пространства псевдохарактеров свободных
полугрупп
Глава 12. Псевдохарактеры иа свободных произведениях полугрупп
Глава 13. Описание пространства псевдохарактеров свободного произведения групп, с использованием свободной полугруппы
1. Газложение пространства РХ(А * В) в прямую сумму пространств PX(A),PX(B),PX(D,~ 1) -
2. Описание пространства PX(D, —1)
Глава 14. Псевдохарактеры на одном виде полупрямых произведений групп
1. Полупрямые произведения
2. Описание пространства PX(D, —1,Т)
3. Описание пространства РХ(Т ■ Н)
Глава 15. Псевдохарактеры на некоторых расширениях свободных групп
1. Вспомогательные предложения о свободных группах
2. Предварительные сведения
3. Псевдохарактеры свободных групп
4. Псевдоахарактерьт на некоторых расширениях свободных групп 2^
5. Псевдохарактеры свободных произведений полугрупп, инвариантые
относительно инъективных эндоморфизмов
6. Некоторые примепшшя псевдохарактеров
Часть 3. Об альтернативном уравнении Коши
Глава 16. Решение альтернативного уравнения Коши
на полугруппе S =< а2 — a, b2 = b >
1. Ограниченные решения уравнения (636)
2. а = 1 '

5. а = -2.
6. а — иррациональное число
7. о — рациональное число
8. а - отрицательное число
9. а < 0, а = -1 - Л, Л = *
’ ’ ч
10. Рассмотрим случай: а = —А,; А =
11. Таблица для А = А/ - разности Коши функци /
12. а— положительное число
13. Решение уравнения в случае, когда а = ~
14. Решение уравнения в случае, когда а
15. Решение уравнения в случае, когда а = |
16. Решение уравнения когда а = —1( следовательно д > 3)
Глава 17. Об альтернативном уравнени Коши на свободных
произведениях полугрупп и свободной полугруппе
1. Альтернативное уравнение на типовой полугруппе
2. Квазихарактеры на свободной полугруппе
3. Решение альтернативного уравнения
Часть 4. Ширина вербальной подгруппы некоторых групп
Глава 18. О ширине вербальной подгруппы группы О = Т ■ Н
Глава 19. О почти гомоморфизмах на свободный моноид
1. Метрика на (■7Г, *)
2. Биполярные структуры
3. О ширине вербальной подгруппы групп с биполярной структурой
4. О ширине одного множества в свободных произведениях с объединенной
подгруппой
5. Замечание о ширине вербальной подгруппы 1Ш1Ч-расширений
Литература

следовательно, для любого п Є N имеем
||/(ЛГп) - /О”) - f(x'u)II < а+ в [^(7(0;”)) + фЫх~п))]
||/(е) - j'(xn) - }х~п)\ <а + в [ф{7(ж")) + ^(7(ж“п))]
ІІДО + /(*-") || < а + в [ффу{хп)) + ФЫх~п))]
n\f(x) + /о1)II <о + 6» [ф{7(0) + ФЫх~п))]
n\f(x) + /(ж-1)И < 0 [Дп7(ж) + nd) + ф(п'у(х~1) + nd)] n[|/(x-) + Да;~г)|| <а + в [ф(п) ф(7(ж) + d) + ф(ть) ф{7(0) + d)]
И/О + /О1)И < а + 9 VM [ф(7(.т) + с!) + ф(7(аГг) + d)].
Так как —> 0 при п —>■ оо, получаем /(ж) + /(ж-1) = 0, то есть, f{x_1) =
-/О- " □
Через Вфп(Б,Е) обозначим линейное пространство функций на S, удовлетворяющих соотношению:
11/011 < Г + СФ{тО) Для некоторых г, с> 0 и для всех х Є S.
Ясно, что если 7 постоянная функция, то множество B,pr/(S R.) состоит из ограниченных функций, обозначим это множество через B(S).
Теорема 1.3.
KAM,i,JS- Е) = PAM,!,n(S: Е) ® Д,,,7(5; Е),
KX{S) = PX(S)@B(S).
Доказательство. Легко видеть, что РАМфа(3Е) и B^n(S-,E) являются подпространствами KAM^n{SE). Покажем, что РАМф^(3Е) П Вфа{3Е) — {0}. Действительно, если
/ Є PAMrpi7(S; Е) П Вф-фв-, Е),
то для некоторых /•, с > 0 имеем
||/(ж)|| < г + с.ф{7(2:)), V.t Є S.
Пусть q > 1. Тогда для каждого х Є S получаем
||/(ж?п)|| < г + с ?/;(7(.т9”)), Vn Є N.
следовательно,
9” 11/0*011 < Р + с ф{7(.т9")), Vn Є N

||/(з;)II < Г + с ^(?п (70е) + О), Vn Є N.
Из последнего мы получаем

\f(x)\<^ + c-^^ф(■y(x) + d), Vn Є N.
Значит, / = 0. Пусть теперь / некоторый элемент из KAM^,i7(S; Е), тогда / Є РAM,},a(S] Е). Из Следствия 1.1 имеем / — / Є ізу,і7(£; Д). □
ТЕОРЕМА 1.4. Предположим что / Є PAM$„(SE) и a,b Є S. Если ab = ba. то f (ab) = f(a) + f(b).