Оценки погрешности наилучших квадратурных формул на некоторых классах функций

• Автор: Хамдамов, Шерали Джумабекович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 82 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы на классах функций малой гладкости
§1.1. Определение и обозначения общего характера
§1.2. Об оценке погрешности квадратурной формулы Эрмита на
классе функций Ни[—1; 1]
§1.3. О погрешности одной квадратурной формулы на классах
функций ]уР>Ны[-1; 1]
§1.4. О наилучших квадратурных формулах для интегралов с весом
Якоби на классах функций малой гладкости 1Г^1)Г[—1,1] .... 39 §1.5. О наилучших весовых квадратурных формулах класса
функций ¥^Ь[0, оо)
§1.6. Об оптимизации приближенного вычисления двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в
круге. Приведение к одномерному случаю
Глава II. О наилучших и наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах на некоторых классах функций
§2.1. Постановка задач и классы функций
§2.2. О наилучших весовых кубатурных формулах на классах
функций Гр(<5) (1 < р < оо)
§2.3. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов
функций ИЬР{С}*), 1 < р < оо

§2.4. Оценки погрешности кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах, для классов функций, задаваемых модулями
непрерывности
Литература

Введение
В пятидесятых годах прошлого столетия С. М. Никольский [33] впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул - задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы из условия минимальности точной оценки ошибки формулы на заданном классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А.Сард [38]. В дальнейшем теория построения иаилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты в этом направлении были получены Н.П.Корнейчуком, Н.Е.Лушпаем, В.П.Моторным, А.А.Женсык-баевым, Б.Д.Бояновым, А.А.Лигуном, К. И. Осколковым, М.И.Левиным, Ю.Г.Гиршовичем и многими другими. Основные результаты этой теории приведены Н.П.Корнейчуком в добавлении к книге С.М.Никольского [33]. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешенных вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатурных формул, а также построения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов.
При оптимизации приближенного интегрирования сингулярных интегральных уравнений возникает необходимость в нахождении наилучших квадратурных и кубатурных формул с положительным весом, причем допускается, что интегрируемая весовая функция в области интегрирования может иметь фиксированные слабые особенности. Для таких квадратур сформулируем следующую общую экстремальную задачу.

Доказательство. Прежде всего заметим, что если в (1.3.1) полагать ж = cos9, —1 < х < 1, 0 < в < тг, /(cos#) = <р(в), то мы приходим к следующей формуле
/ V(6)M = (-(2^)1Г) + Д.М. (1-3.7)
причем, если /(ж) е И^ЯД—1,1], то <р(#) е ТИ^ЯДО, я]) и из (1.3.1) и (1.3.7) сразу следует, что Rn{f) = Rn(f), а по этой причине также сразу получаем равенство
Rn{WwHu[-l, l](Vl - t2)~X, Р) = Rn{W{^Hu[0, тг]; X*, Р*). (1.3.8)
1.3.1. Применение интерполяционных сплайнов первой степени.
Далее чтобы доказать оценку (1.3.6)', воспользуемся интерполяционными сплайнами первой степени (см., напр., [23], [18]).
Поставим в соответствие каждой функции /(ж) 6 С[а, Ь] функцию Snifi х) G С[а, Ь], удовлетворяющую условиям:
а) на каждом частичном промежутке [хк-1,хк] (к = 1, гг) разбиения отрезка а = жо < xi < ... < Xk-i < Хк < ... < хп = b функция 5^(/;ж) является многочленом первой степени;
б) S^fiXk) = f(xk), (к = 0,1,..., п).
Известно [18, стр.29], что для /(ж) € С[а, Ь] функция 5^(/; ж) существует и единственна. Функцию £*(/; ж) называют интерполяционным сплайном первой степени или линейным сплайном. Очевидно, что для ж € [ж^_i, ж/-] линейный сплайн 5^(/; ж) представим в виде
sl(fiх) = Xkh ‘ • f{xk), hk = xk- Xk-v (1.3.9)
“■к Пк