Классификация пространств бэровских функций, пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных периодических топологических групп

• Автор: Гензе, Леонид Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 75 с.

Содержание
Основные обозначения
Введение
Глава I. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЭРОВСКИХ ФУНКЦИЙ НА ОТРЕЗКАХ ОРДИНАЛОВ
§1. Классификация Бэра
§2. Достаточные условия линейной гомеоморфности
§3. Необходимые условия линейной гомеоморфности
Глава II. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРВЮ-НБ1Х КОНЕЧНОЗНАЧНБ1Х ФУНКЦИЙ И СВОБОДНБ1Х ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ГРУПП ОТРЕЗКОВ ОРДИНАЛОВ
§4. Свободные п-периодические топологические группы
§5. Метод разложения свободных га-периодических топологических групп
§6. Классификация пространств непрерывных конечнозначных функций и свободных п-периодических топологических групп
§7. Явное описание топологии свободных булевых топологических
групп
Литература

Основные обозначения
А мощность множества А
0{Х.5 : 5 Є 5} сумма топологических пространств {Х8 : з Є б1}
П{Х3 : 5 Є 5} произведение топологических пространств {Х8 : г 6 5}
Е{^ : 5 Є і?} £-произведение ТВП {Х8 : 5 Є 51} с центром в нуле
С включение (не обязательно строгое)
Ъп циклическая группа порядка п
= топологический изоморфизм топологических групп
~ линейный гомеоморфизм ТВП
Во всех вопросах, касающихся порядковых и кардинальных чисел (в частности, их арифметики) мы следуем книгам [2], [12] и [28].

Введение
Актуальность темы. Проблема классификации математических объектов является одной из центральных в математике. Так как многие объекты, возникающие в математике, обладают несколькими естественными структурами, то и классификация соответствующих объектов может быть различной. Так, например, множество СР(Х) всех непрерывных веществен-нозначных функций, определенных на тихоновском пространстве X, снабженное топологией поточечной сходимости, является одновременно топологическим векторным пространством, равномерным пространством, топологическим кольцом, топологической группой и просто топологическим пространством.
В 1951 г. A.A. Милютин в своей диссертации доказал, что если X и Y — несчетные метризуемые компакты, то банаховы пространства С(Х) и C(Y) линейно гомеоморфны, решив тем самым известную проблему Банаха (этот результат стал широко известен лишь в 1966 г. с выходом статьи [14]). В 1960 г. Ч. Бессага и А. Пелчинский [22] дали полную классификацию банаховых пространств С(Х) для счетных (метризуемых) компактов X относительно линейных гомеоморфизмов. Таким образом, теоремы Милютина и Бессаги-Пелчинского дают полную линейную гомеоморфную класификацию банаховых пространств С(Х) для метризуемых компактов X. В 1960 г. 3. Семадени [26] доказал, что при различных натуральных пят банаховы пространства С[1,ш ■ п] и С[1,Ш • т] не являются линейно гомеоморфными, продолжив тем самым классификацию Бессаги-Пелчинского на все отрезки ординалов [1, ск] при а < од • и. В 1975 г. С. П. Гулько и A.B. Оськин ([9]) и С.В. Кисляков ([11]) независимо друг от друга дали полную линейную гомеоморфную классификацию банаховых пространств С[ 1,а] для произвольных ординалов а.
Ситуация с пространствами вида СР(Х) более сложная. Так, из теоре-

Напомним, что плотность топологического пространства X — это минимум мощностей всюду плотных в X множеств. Этот кардинал обозначается д(Х).
Вес 'ш(Х) топологического пространства X — это минимум мощностей баз пространства X.
Символом гт(Х) обозначается г-вес пространства X — минимум весов тех тихоновских пространств, на которые пространство X можно уплотнить, т.е. отобразить биективно и непрерывно.
Лемма 3.3. (г) Пусть шТ — начальный ординал регулярной мощности ип,т < и. Ваш Т: (ЛДСсоу ]) -> (Вр[ 1,ш т])т — линейный гомео-
морфизм, то мноэ/сество
М = {а < : Т((Вр°'»[1,Шт])”) = (В*“[1, (*.])”}
замкнуто и конфинально в \.,иТ).
(гг) Пусть иТ — начальный ординал регулярной мощности, иа и сар — начальные ординалы, такие, что ш ^ соа < шТ, ш ^ шр < иг. Если Т: а;т] : —> ]Г){.Вр[1, огт] : — линейный гомеоморфизм, то
множество
М ~ {а <шТ :Т (Е{^Р°’а[1^г] : Кст}) = £{В°-“[1,ыг] : М) замкнуто и конфинально в [1,сот).
Доказательство. Докажем сначала вторую часть леммы. Так как пространство Ср[1,а всюду плотно в Вр[1,а, то д(Вр[ 1,а]) ^ д{Ср{1,а). С другой стороны, известно ([3, с. 33]), что д(Ср(Х)) = ги>{Х) для любого тихоновского пространства X. Также хорошо известно ([21]), что для компакта X всегда гги(Х) = 'ш(Х) < Х. Окончательно имеем
д(Вр[1,а) < д(Ср[1,а) = гт([1,а) = ги([1,а]) ^ |[1,а]| = |а|. (8)
Введем для удобства следующие обозначения: ^{Вр'а[1, шТ] : Н„] = Д и пт 1 , иТ] : = Та. Тогда с учетом (8), линейного гомеоморфизма