Формула Айзенберга в псевдовыпуклых областях

• Автор: Роткевич, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 83 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Основные определения
1.1 Основные обозначения
1.2 Класс рассматриваемых областей
1.3 Пространства Харди и Бесова
1.4 Неравенство Харди
2 Формула Коши-Лере-Фантаппье и оценки её ядра
2.1 Теорема Лере. Формула Айзенберга
2.2 Точечные оценки ядра
2.3 Интегральные оценки ядра
2.4 Приближение ядра Коши-Лере-Фантаппье
3 Локальные приближения и пространства В^м/(дИ)
4 Построение почти наилучшего локального приближения
5 Два способа псевдоаналитического продолжения
5.1 Продолжение с помощью локальных приближений
5.2 Продолжение с помощью глобальных приближений
6 Псевдоаналитическое продолжение функций из классов Бесова
7 Конструктивная характеристика классов Бесова
8 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в про-
странстве и’(дСі)
8.1 Сингулярные интегральные операторы и Т1-теорема
8.2 Доказательство ограниченности оператора Коши-Лере-Фан-таппье в Ьр{дії)
8.3 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространстве ВМО(<9Г2)
9 Ограниченность оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах Бесова
10 Действие оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах
10.1 Ограниченность оператора Коши и оператора Коши-Лере-Фантаппье в пространствах 1Д')(сЮ) в случае логарифмически гёльдерового показателя
10.2 Пример, когда оператор Коши не ограничен в пространстве 1/0 (тг)
10.3 Пример, когда оператор Коши-Лере-Фантаппье не ограничен в пространстве 1/^(0 В2)
Заключение. Основные результаты
Список литературы

Введение
Диссертация посвящена изучению свойств и применений интегрального оператора, порождённого интегральным представлением Айзенберга аналитических функций в линейно выпуклых областях.
В анализе функций одной комплексной переменной одним из основных инструментов и предметов изучения является формула Коши. Существенное отличие многомерного случая с этой точки зрения состоит в отсутствии подобной универсальной формулы, восстанавливающей голоморфную функцию по её граничным значениям. Как один из универсальных подходов к этому вопросу можно рассматривать проектор Сегё 5, определяемый как ортогональный проектор пространства Ь2(д£1) на замкнутое подпространство Н2(0,), порождённое граничными значениями голоморфных функций. Недостаток такого подхода заключается в том, что, за ис-
ключением небольшого числа специальных областей, оператор 5 выписать в явном виде не удаётся, и получение оценок для этого оператора, как и его применение к конкретным задачам, затруднительно.
Зачастую удобнее рассматривать операторы, порождённые формулами вытекающими из теоремы Лере. Преимущество этих операторов состоит в относительно явной формуле для ядра, часто легко выписываемого по функции задающей область. В 1979 году Л.А. Айзенберг применил теорему Лере к линейно выпуклым областям, получив при этом явную формулу. Точнее, для любой функции /, голоморфной в линейно выпуклой области О = {г Є : р(г) < 0} с С2- гладкой границей выполнено соотношение
где шр - дифференциальная форма, выписываемая явно по функции р (по

(0.1)
где, как и раньше, рг^, ттс - проекторы на касательную и комплексную касательную гиперплоскости, соответственно.
Пусть, и € 7*, рассмотрим в касательной гиперплоскости параллелепипед
Зи = и + {ге&-.г = (г',ги),г' € [0, /г]2^2 С С*"1,
га = га, Кете € [0, к{, 1ггш; = 0}. (4.3)
Поскольку область регулярна, то оператор проекции на касательную гиперплоскость локально обратим в окрестности точки £, и считая, что параллелепипед Ju достаточно мал и близок к точке £, обозначим
Л = рг^1(Л), (и,Шо)=рг^1(и), = щ1(г',иа +Ь),
где (г1,0) е я^(7и), при этом, очевидно, Пеид = иа и Кегп^г') = щ +
Кроме того рассмотрим отрезок, соединяющий точки и и + к)
и кривую ту, соединяющую точки (и',гго) и (г;', гсх(-г/)), получаемую при обратной проекции рг^Г1 на границу области О этого отрезка, то есть
Ъ' = рг^4(1 - г)и + г{г',и(1 + }11),}.
Окончательно, сопоставим кривой уу кривую 7у в комплексной плоскости, которую описывает последняя координата кривой ту. Также введём вспомогательное обозначение Ри = 7г^(7Ц).
Определим функцию
уадЦ-г') - гн0у
(4.4)
где Ра(г') = Р{г) • ... • Р^г^).
/г2(<г-!) щ(г') — у;о