Аффинные типы L-многогранников пятимерных решеток

• Автор: Кононенко, Павел Геннадьевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 193 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие
Основные обозначения
Глава I. Предварительные сведения из геометрии решеток и
теории L-разбиений
1. Векторный и барицентрический базисы и порожденные ими формы
2. Точечные решетки
3. L-разбиения решеток
Глава II. Предварительные сведения из теории гиперметрических пространств. Гиперметрический конус, Cut-конус, L-многогранники решеток
Глава III. Исследование конуса HYPi при я < 5.
Аффинные типы Яг мерных (я< 5) L- м но гог ран нико в, содержащих основной симплекс решетки
1. Невырожденные гиперметрики
2. Размерность решеток и аффинные типы Z-многогранни-ков, соответствующие граням конусов НУРпь 1 и С„+1
3. Об одном сечении конуса Сп+
4. Невырожденные грани е« 2-конуса С. Размерность решетки Ld для d € Сны
5. Матрица М{Р) невырожденной грани /конуса Оп+г
6. Классы эквивалентности граней конуса Cn+i и их матричное представление
7. Матричное представление аффинных типов L-многогранников
8. Алгоритм нахождения аффинных типов -многогранников размерности я < 5, содержащих основной симплекс решетки. Результаты
Глава IV. Обобщенно гиперметрические пространства
Глава V. Примеры обобщенно гилерметрических пространств
1. Координатное множество. Общие замечания
2. Обобщенно гиперметрический конус НУР
3. Обобщенно гиперметрический конус НУР%+1
4. Обобщенно гип ер метрические конусы НУР*+{
Глава VI. Полнота списка пятимерных Ь-многогранников.
Итоговые теоремы
1. Выделение -симплекса из -многогранника
2. Все пятимерные Ь-многогранники, порождающие решетку, - основные
3. Итоговые теоремы
Таблица 1. Аффинные типы Ь-многогранников 5-мерных
решеток
Литература
Приложение 1. Матрицы координат Ь-многогранников
5-мерных решеток
Приложение 2. Пакет программ на языке Паскаль
1. Инструкция по применению пакета программ.
Список программных файлов
2. Схема взаимодействия модулей пакета программ
3. Представление основных данных
4. Краткое описание основных модулей и процедур
5. Тексты программ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Тема настоящей диссертации относится к одной из глав геометрии решёток — теории задаваемых решётками Ь-разбиений евклидовых пространств. В диссертации дан полный вывод типов Ь-многогранни-ков нятимерных решёток; важным этапом вывода было использование вычислительной техники — персонального компьютера.
Основополагающей работой, которая положила начало теории Ь-разбиений, был мемуар, как принято называть эту статью, известного русского математика Г.Ф.Вороного [9] о примитивных параллелоэд-рах. В этой, ставшей классической, работе Г.Ф.Вороной ввел понятие Ь-симплекса, правда, только применительно к решёткам общего вида, связал задачу о комбинаторных типах параллелоэдров с задачей о типах Ь-разбиений решёток, показал, что при данной размерности п таких типов существует лишь конечное число, построил алгоритм их вывода и вывел эти типы для случаев п < 3.
Последующие фундаментальные достижения в теории Ь-раз биений принадлежат Б.Н.Делоне. (Как дань его выдающейся роли в этой теории, наряду с названием "Ь-многогранник", которое пошло от термина "симплекс Ь" в мемуаре Вороного, используется название "многогранник Делоне".) Статья Б.Н.Делоне [11] до сих пор остаётся учебником, вводящим в теорию Ь-разбиений.
Ь-разбиения сами по себе, а также благодаря их комбинаторной и метрической двойственности с разбиениями на области Дирихле-Вороного, стали базой при решении важных задач геометрии положительных квадратичных форм (задача о параллелоэдрах, задача о наиболее экономных покрытиях конгруэнтными шарами и др.), дискретной математики, геометрической кристаллографии, а в последние годы — и теории гиперметрических пространств.
Настоящая диссертация относится к наиболее актуальной теме теории Ь-разбиений — Ь-раз биениям точечных решёток. В последние годы здесь полностью решены вопросы описания видов Ь-многогранников и строении Ь-разбиений решёток размерности п < 4, исследованы Ь-разбиения наиболее значимых отдельных решёток и классов решёток в произвольных размерностях, в монографии С.С.Рышкова и Е.П.Бара-новского найдено строение Ь-разбиений 5-мерных решёток общего вида. Все комбинаторные типы 4-мерных Ь-многогранников были выве-

Каждой сиЬ-метрике й'5 (& С X, Р ф 0) сопоставим характеристический столбец £3Г = (£5
противном случае. Очевидно, что <£? = £$- (0 < г < п).
Пусть Р - произвольная грань конуса С. Поставим ей в соответствие матрицу (определенную неоднозначно) размера (л+1) х || (понимая Р как подмножество с-векторов), составленную из характеристических столбцов £5, соответствующих сг-метрикам й3, входящим в Р. И пусть Т - множество всевозможных матриц Р> поставленных в соответствие граням конуса . Рассмотрим преобразования матриц Р на множестве Р:
a) замена в одном из столбцов нулей на единицы и наоборот;
b) перестановка столбцов;
c) перестановка строк.
Преобразования а),Ь) сохраняют грань Р, а с) сохраняет класс эквивалентности грани Р.
Введем следующие обозначения. Пусть <р - перестановка множества X = {0
Таким образом, справедлива следующая лемма.
Лемма 3.9. Существуют взаимно-однозначные соответствия между:
1) гранями конуса Сх и классами эквивалентности матриц Р 6 Р, относительно преобразований а),Ь) (называемые далее аЬ-классами);
2) к-классами граней конуса Сх и классами эквивалентности матриц Р € Р, относительно преобразований а), Ь), с) (называемые далее аЬс-классами).
> 1) Если матрицы РжС эквивалентны относительно аЬ-преобра-зований, то можно установить взаимно однозначное соответствие между столбцами матриц Р и С, при котором соответствующие столбцы совпадают или связаны друг с другом заменой всех нулей на единицы и наоборот. Таким образом множества ай-векторов, входящих в грани Р и 67 совпадают.
Обратно, если матрицы Ри С задают одну грань Р = 67, то между столбцами матриц Р и 67 существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющие сггё-векторы. Поэтому после надлежащей пере-