Исследование и применение рестриктивных В-сплайнов

• Автор: Черноусов, Максим Викторович
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 127 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. В-СПЛАЙНЫ С РАЗРЫВНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
1.1. Обзор существующих методов аппроксимации
1.2. В-сплайны с разрывными производными.
Случай одной переменной
1.3. В-сплайны с разрывными производными.
Случай двух переменных
1.4. Параметрические В-сплайны с разрывными производными
1.5. Связь между различными типами сплайнов и В-сплайнами с
разрывными производными
ВЫВОДЫ
Глава 2. РЕСТРИКТИВНЫЕ В-СПЛАЙНЫ
2.1. Постановка задачи
2.2. Случай одной переменной. Точный метод
2.3. Случай одной переменной. Приближенный метод
2.4. Случай двух переменных. Точный метод
2.5. Случай двух переменных.Приближенный метод
ВЫВОДЫ
Глава 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ С
ПОМОЩЬЮ В-СПЛАЙНОВ С УПРАВЛЯЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ПРИ ИМИТАЦИОННОМ МОДЕЛИРОВАНИИ ГИДРОАКУСТИЧЕСКИХ УСТОЙСТВ
3.1. Обзор существа вопроса
3.2. Моделирование процесса излучения и распространения
гидроакустического сигнала в воде
3.3. Взаимодействие поля излучения с донной поверхностью
3.4. Принимаемый сигнал
3.5. Особенности реализации
ВЫВОДЫ
Глава 4. ПРИМЕНЕНИЕ РЕСТРИКТИВНЫХ В-СПЛАЙНОВ В
ГЕОИНФОРМАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ И В ЗАДАЧАХ МАШИННОЙ ГРАФИКИ
4.1. Обзор методов представления рельефа в современных
геоинформационных системах
4.2. Особенности реализации рестриктивных
В-сплайнов на ЭВМ
4.3. Применение рестриктивных В-сплайнов в ГИС ГрафИн
4.4. Применение рестриктивных В-сплайнов в ГИС МарГпйэ
4.5. Применение рестриктивных В-сплайнов
в задачах компьютерной графики
ВЫВОДЫ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЯ

Введение
Актуальность проблемы. Часто в различных технических задачах возникает необходимость представить таблично заданный набор данных в виде аналитической функции. Как правило, задача осложняется тем, что исходный набор может быть нерегулярным, а требуемая функция должна удовлетворять заданным, подчас довольно сложным ограничениям.
В последнее время для аппроксимации таблично заданных функций широкое распространение получили различные сплайновые конструкции [2, 17, 22, 23, 25, 35, 57, 61, 62, 70, 79, 98]. Если аппроксимирующая функция должна проходить через точки исходного набора, то такая задача называется сплайн-интерполяцией [4, 7, 8, 13, 16, 17, 30, 37]. Если исходный набор данных содержит шумовую составляющую, то можно говорить о задаче сплайн-сглаживания. При этом условие прохождения сплайн-функции через точки исходного набора ставится не жестко, и график функции может проходить по некоторому коридору в окрестностях точек набора данных [8, 16, 17, 30, 37].
В вычислительной практике наиболее удобными оказались сплайны, построенные на финитных функциях. В частности, на В-сплайнах [8, 16, 17, 57, 58]. С помощью таких конструкций решать задачу сплайн-аппроксимации удобнее, так как задача отыскания коэффициентов сплайна распадается на ряд подзадач меньшей размерности по нахождению коэффициентов локальных сплайнов.
Однако классический кубический сплайн в силу свойства экстремальности кубических сплайнов [8, 13] строит максимально гладкую функцию в классе дважды непрерывно дифференцируемых функций, что не всегда удовлетворяет требованиям задачи аппроксимации. Чтобы учесть априорные ограничения на вид аппроксимирующей функции, сплайновая конструкция должна содержать дополнительные регулирующие параметры. Такие конструкции существуют. Это, например, (3 -сплайны [16, 17, 58], содержащие коэффициенты скоса

Важно, что при сі = 0, сіі =0 V/ матрица системы превращается просто в диагональную матрицу, и система должна решаться без использования метода прогонки, так как в этом случае возникнет деление на 0. Если же с,. = 0, с11 - 0 не для всех то целесообразно просто принять с,-г = 0 + є, (іі. = 0 + є, что, конечно, скажется на точности вычисления, но, как показывает практика, незначительно.
Если скорость выполнения алгоритма является приоритетной по отношению к точности, то в качестве искомого набора {/>,} можно взять, например, {у, } или использовать формулу, точную на многочленах третьей степени, приведенную в [8]:
ЛГ+1
5«=2>; У-1 +*!''у, +Ь?ум )вїи,..),

(_1) = bm = JuмL А(0) = 1_А(-1)_АО)
3/2,_! ‘ 3/2
и = - , Я= — и.
Г*1 1 , 1 5 I г*1
г-1 г
Заметим, что для корректной работы этого сплайна мы должны произвольным образом расширить сетку узлов X на 2 узла влево и на 2 узла вправо.
1.3. В-сплайны с разрывными производными.
Случай двух переменных
В данной работе мы не станем обобщать результаты исследования В-сплайнов с разрывными производными на случай произвольного числа переменных и ограничимся разработкой эффективных алгоритмов для аппроксимации двумерного набора.
Пусть задана регулярная сетка узлов N: {ху,}, где і = 0, /V, / = 0, М, и {Ду}- значения функции в этих узлах. Мы хотим приблизить этот набор по-