Статистическое описание динамических систем в поле цветных шумов

• Автор: Логинов, Валерий Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 332 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ В СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В.1. Характеристики случайных процессов
В.2. Описание динамическими или кинетическими уравнениями
1. ФОРМУЛЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ СРЕДНИХ
1.1. Формулы дифференцирования средних, содержащих запаздывающие функционалы
1.2. Формулы дифференцирования средних, содержащих запаздывающие функционалы. Кумулянтное представление
1.2.1. Вводные замечания о кумулянтных функциях
1.2.2. Формулы дифференцирования
1.3. Формулы дифференцирования средних, содержащих функции от запаздывающих и опережающих функционалов марковских процессов
1.3.1. Формулы дифференцирования для средних от опережающих функционалов
1.3.2. Формулы дифференцирования средних от опережающих и запаздывающих функционалов
1.3.3. Формулы дифференцирования для условных средних
1.4. Формулы дифференцирования и стохастическое исчисление И то
1.4.1. Модель непрерывных процессов
1.4.2. Модели дискретных процессов
2. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, ВОЗМУЩАЕМЫЕ МАРКОВСКИМИ ПРОЦЕССАМИ ТЕЛЕГРАФНОГО ТИПА
2.1. Цветные шумы телеграфного типа. Процессы Кубо-Андерсона
2.1.1. Процессы Кубо-Андерсона (определения, свойства, формулы дифференцирования)
2.1.2. Усреднение линейных систем

2.1.3. Пример усреднения матричных уравнений
2.1.4. Усреднение нелинейных систем
2.1.5. Усреднение уравнений высокого порядка
2.1.6. Уравнения с нелинейной зависимостью от а
2.2. Обобщенные процессы телеграфного типа. Процессы кенгуру
2.2.1. Определения, свойства, формулы дифференцирования
2.2.2. Суммы простейших статистически независимых телеграфных процессов
2.2.3. Воздействия шумов кенгуру на линейные динамические системы
2.2.4. Воздействия шумов кенгуру на нелинейные динамические системы
2.2.5. Уравнения с явно зависящими от і параметрами
2.2.6. Динамические системы с воздействиями в виде суммы простейших телеграфных процессов
3. ВОЗДЕЙСТВИЯ В ВИДЕ МАРКОВСКИХ ГАУССОВСКИХ И ДРУГИХ РАСПРОСТРАНЕННЫХ МОДЕЛЕЙ ЦВЕТНЫХ ШУМОВ
3.1. Характеристики процессов. Формулы дифференцирования средних
3.2. Усреднение динамических систем. Цепочки уравнений для средних
3.3. Анализ при конечных и нулевых временах спада корреляций
3.3.1. Редукция цепочек уравнений
3.3.2. Уравнение для средних и характеристический функционал воздействий
3.4. Расцепление корреляций в случае быстрофлуктуирующих воздействий
3.5. Сравнение с точно решаемыми примерами
3.6. Формулы дифференцирования и диффузионное, приближение
3.7. Динамические системы при воздействии цветных шумов и метод расширения пространства динамических переменных
3.8. Усреднение динамических систем. Кумулянтное представление
4. ТЕОРЕМЫ УСРЕДНЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ ИНТЕ-ГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. Системы нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтер-ра, встречающиеся при анализе, усредненной динамики систем в поле цветных шумов
4.2. Новая схема усреднения для системы (4.1)
4.3. Усреднение в системах интегро-дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной, с многоточечными краевыми условиями

4.3.1. Многоточечные линейные краевые условия
4.3.2. Теоремы сравнения решений интегро-дифференциалъных уравнений с многоточечными краевыми условиями
5. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ФЛУКТУИРУЮЩИМИ ПАРАМЕТРАМИ
5.1. Точно решаемые модели нелинейных динамических систем, возмущаемых цветными шумами Орнштейна-Уленбека и Рэлея
5.1.1. Шумы Рэлея и Орнштейна-Уленбека
5.1.2. Структура редуцированного уравнения
5.1.3. Точно, решаемые динамические модели. Общий случай
5.1.4. Точно решаемые модели. Модель Хонглера
5.1.5. Пример стационарного распределения на бифуркационной прямой
5.2. Вычисление функционалов от процесса Винера
5.3. Нестационарные распределения связанных осцилляторов Дуффинга
5.4. Эффективная частота и затухание для поверхностных волн в проводящей жидкости при воздействии случайного электрического поля
5.5. Может ли случайная сила оказывать стабилизирующее воздействие?
5.6. Нестационарные эффекты в динамике частицы в стохастической слоисто-неоднородной среде
5.7. Статистические характеристики коэффициента прохождения и отражения волны в периодической среде с хаотической модуляцией
5.8. Точно решаемые модели коагуляции в присутствии стохастического источника и стока
5.8.1. Постановка задачи
5.8.2. Стохастический источник
5.8.3. Стохастический источник и постоянный сток частиц
5.8.4. Постоянный источник и стохастический сток
5.8.5. Синфазная схема включений стохастического источника и стока
5.8.6. Противофазная схема включений стохастического источника и стока
5.9. Моделирование сложной динамики
5.9.1. Качественные соображения
5.9.2. Математическая постановка задачи
функцию а(і)). Поскольку результат (1.5) справедлив и тогда, когда множество Е образовано непрерывным рядом значений а в моменты т < /, в общей формуле функционал Ф4(Е,Т), зависящий от дискретного числа точек, может быть заменен запаздывающим функционалом общего вида Ф([«(т)], т < і. Таким образом, имеем.
Л + ({І+Р(і,а(і)) Ф«[а]). (1.6)
Л' " ™ " ді
Формула дифференцирования (1.6) является общей и справедлива для произвольных случайных процессов. В дифференциальном представ лени и оператор, сопряженный оператору (В.22):
00 ! і)к

и соответственно формула дифференцирования принимает вид
(-|)№«Л)Ф,Н) = |(т(л0Ф,). (1.7)
В случае векторного процесса а (і) = (о-*1)

Іші** *(») И'"
Ф.МУ (1-8)
В частном случае непрерывных процессов в суммах по к в (1.7). (1.8) остаются только два слагаемых с коэффициентами Лт, Л>.
Когда a() является марковским случайным процессом, все коэффициенты Л/,, в приведенных формулах зависят только от «(/;) и I и не зависят от предыстории, т.е. Л/ф«,7|Е,Т) = Ла;(«,О- Первоначально формулы дифференцирования для ряда дискретных и непрерывных моделей а(1) этого класса были установлены нами в работах [139,140,94], вид общей структуры в форме (1.6) для класса марковских процессов был определен В.И.Кляцкиным [141, а общий результат, для немарковских процессов, - в нашей работе [95].
Приведем вид формулы дифференцирования, когда процесс «(/.) представляет

собой сумму независимых случайных процессов о,- «(/.) = X) а»СО, каждый из ко-

торых характеризуется своим кинетическим оператором Ц. Кинетический оператор процесса а (к)
1 = и + 12 + ... + 1х, (1.9)
что легко следует из условия статистической независимости процессов сц(0- В самом деле, для этого случая функции СДа,/.|Е,7') разбиваются на произведения