Спектральные корреляции, статистика резонансов и вигнеровских времен задержки в задачах хаотического рассеяния и одномерной локализации

• Автор: Титов, Михаил Леонидович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Гатчина
• Количество страниц: 108 с.

1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Случайные матрицы в теории квантового хаотического рассеяния
1.2 Краткая характеристика задач, рассмотренных в диссертации
2 СПЕКТРАЛЬНАЯ СТАТИСТИКА ДЛЯ НЕЭРМИТОВЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
АНСАМБЛЕЙ СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ
2.1 Метод суперсимметрии для деформации ансамбля GOE. Плотность собственных значений для GOE + гГ и
GOE + А
2.2 Результаты для спектральной статистики слабых деформаций ансамбля GOE: GOE-HT, GOE+A
2.3 Спектральные корреляционные функции любых порядков для деформации класса GUE: GUE+г'Г
3 ЗАДАЧИ АНДЕРСОНОВСКОЙ ЛОКАЛИЗАЦИИ
3.1 Рассеяние на одномерной неупорядоченной системе:
времена задержки и резонансы
3.2 Параметрическая статистика уровней в пределе сильной локализации: аналитический подход
4 ЗАКЛЮЧЕНИЕ
5 ПРИЛОЖЕНИЯ

1 ВВЕДЕНИЕ
1.1 Случайные матрицы в теории квантового хаотического рассеяния
Значительная часть этой диссертации посвящена теории квантового хаотического рассеяния. Попробуем кратко изложить здесь основы этой теории. Представим себе, что мы имеем дело с упругим рассеянием квантовой частицы (волны) на некотором сложном объекте. Что значит сложном? Это значит, что наша частица (волна) в процессе рассеяния проходит через огромное число метастабильных состояний, полностью теряя при этом информацию о своем первоначальном состоянии. Единственной сохраняющейся величиной в процессе рассеяния является энергия или, другими словами, энергия является единственным квантовым числом, которым мы можем ’’пометить” частицу.
Теперь представим себе, что мы рассеиваем на одном и том же сложном обьекте две частицы с очень близкими, но все-таки различными энергиями. В силу сложности рассеивателя, последовательность и число промежуточных метастабильных состояний, через которые прошли частицы будут сильно отличаться для каждой из них. Например, если мы будем изучать такую величину как время задержки, т.е. время в течении которого частица с энергией Е находилась внутри рассеивателя, мы обнаружим крайне нерегулярную зависимость этого времени от энергии. То же самое можно сказать и о ширине резонансов, отвечающих рассеянию с разной энергией. Более того, эти и другие характеристики будут демонстрировать подобную нерегулярную зависимость и от любых малых изменений параметров рассеивателя, например, небольших изменений в силе и форме рассеивающего потенциала, силы внешнего магнитного поля и т.д.
Теоретическое описание такого, хаотического, рассеяния производится статистическими методами, т.е. основным обьектом теории являются функции распределения и корреляционные функции. Важное свойство таких статистических характеристик состоит в их универсальности, т.е. независимости от деталей системы. Единственным условием для наблюдения такой универсальности является хаотичность рассеяния, другими словами, полная потеря информации о начальном состоянии в процессе рассеяния. При этом условии все статистическим характеристики рассеяния универсальны на микроскопическом (локальном) масштабе энергий: 5Е ~ Д(Е), где Д(Е) -среднее расстояние между уровнями (метастабильными состояниями) в рассеивателе вблизи энергии Е.

Несмотря на такое абстрактное определение, квантовое хаотическое рассеяние действительно реализуется экспериментально [1]—[8] в различных областях физики (достаточно отметить рассеяние на ядрах и атомах, фотодиссоциацию молекул, рассеяние на мезоскопических образцах и микроволновое рассеяние в полостях нерегулярной формы). Недавно были предложены новые реалистические, экспериментально проверяемые модели хаотического рассеяния [9]. Возможность вычисления универсальных характеристик такого рассеяния из теории случайных матриц, основы которой были заложены Вигнером и Дайсоном [10, 11], явилась ключевой для создания адекватного теоретического аппарата. В целом этой теме было посвящено огромное количество работ (см. обзоры [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18] и ссылки в них).
Обсудим несколько подробнее две характерных модели хаотического рассеивателя, символически изображенные на рисунке 1. Это модель ” хаотического бильярда” (баллистической микроструктуры сложной формы) рис.1(а) и модель неупорядоченной системы рис.1(Ь). С этими моделями связаны два разных подхода к рассмотрению квантовых хаотических систем вообще и рассеяния на них в частности.
В модели (а), ’’хаотичность” возникает как следствие сложной формы стенок бильярда. Теоретический анализ открытых и замкнутых квантовых систем такого типа опирается на квазиклассический подход, который использует истинный микроскопический гамильтониан и позволяет учесть некоторые специфические (неуниверсальные черты) каждой системы. Этот метод, известный в литературе как ’’теория периодических орбит”, позволяет выразить статистические спектральные свойства обычных хаотических систем в терминах бесконечных сумм по классическим периодическим траекториям [19]. В этом случае статистические характеристики обычно усредняются по некоторому интервалу энергий или слабым вариациям внешних параметров. Этот подход оказался успешным в описании спектральная корреляций на больших энергетических масштабах, тогда как его применимость для описания универсального долговременного поведения оказалось весьма ограниченной.
Модель (Ь) является стохастической. В нее изначально заложено представление о примесях (кружочках на 1(Ь)), которые случайно располагаются по образцу в каждой реализации. В отличие от модели (а), усреднение по некоторому интервалу энергий заменяется здесь усреднением по реализациям системы (по беспорядку). Заметим, что модель (Ь) явно богаче, хотя бы потому, что она содержит дополнительный параметр - концетрацию примесей, или локализационную длину £. Тем не менее, в диффузионном режиме, когда Ь <§; £ (где Ь характерный размер системы), универ-

получена формула (58), которую мы приведем здесь еще раз:
= м 2 {Е - Епу + Г2/4 = М_[ (£ _ ху + У2' (173^
Используя ЭТО выражение, МЫ свяжем корреляционную функцию (тХ1}(Е)тги(Е2))с виг-неровского времени задержки при двух различных энергиях Е,2 — Е ± й/2 с двухточечной корреляционной функцией {р(7,{)р{7,2))с плотности полюсов 5 матрицы в комплексной плоскости Е — X + гУ. (Напомним, что мы рассматриваем ансамбль СиЕ+гГ вместо СиЕ—гТ, так, что собственные значения лежат в верхней полуплоскости, если затравочные ширины -уа - положительны. Все формулы элементарно переписываются с помощью замены ¥ —>■ — У на физический случай, когда полюса сосредоточены в нижней полуплоскости).
гг 4 У2
М’ЫЕ.ЫШ = //ДВДН),,,. _ х), + уа] т _ х? + у3]
- II ^ ^ + г,. Щ- + У?МХ' ■Х”Г- ¥,)(174)
Рассмотрим случай, когда разность энергий Е — Е2 — й находится на локальном масштабе Д = (М^Е))^1. Это единственный случай, интересный с физической точки зрения. Мы используем уже упоминавшийся факт, что средняя плотность (р(Х, У)) не зависит от X на локальной шкале X ~ Д, и, аналогично, кластерная функция У2(Х1,Х2,УиУ2) не зависит от X = (Дд + Х2)/2 для X ~ Д. Тогда интегрирование по X в обеих слагаемых в (174) легко выполнить. В дальнейшем, удобно перемасштабировать величины на локальный масштаб:

ш — ттЛ^Л, Ф — 7г1Уг/П, у — пИиУ, тш = —жХит (175)
и ввести стандартные обозначения:
, , (р(Х,У)) , У2(й,УиУ2)
р^ 7г(Л^)2 ' ^’»Ьй) ( )
Рассмотрим фурье преобразование от корреляционной функции времени задержки:
1 /а(т (в + -£-) т (е - -£-))
СЮ оо оо со
1<1уе-21Ур(у)- I Ас Л <1у1с1у2е-«У'+’»+^У2(и},уиу2) (177)