Асимптотика высоких порядков квантово-полевых разложений в модели Обухова-Крейчнана с "замороженным" полем скорости

• Автор: Кремнев, Илья Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 112 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

0.1. Турбулентность

0.2. Метод ренормализационной группы

0.3. Теория возмущений

0.4. MSR формализм

0.5. Инстантонный анализ

0.6. Описание модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем

скорости

0.7. Структура диссертации

ГЛАВА 1. Выбор полевых переменных
1.1. Инстантонный анализ в простой динамической модели: ломаные экстремали
1.1.1. Точное решение, MSR переменные
1.1.2. Инстантонный анализ
1.1.3. Флуктуационный интеграл
1.2. Переменные Лагранжа
ГЛАВА 2. Семейство инстантонов модели Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем случайной скорости -
2.1. Модель Обухова-Крейчнана с постоянным полем скорости: точно решаемый частный случай
2.2. MSR-формализм
2.3. Формализм Лагранжа
2.4. Инстантонный анализ
2.5. Существование и явный вид инстантона
2.6. Иллюстрация метода в точно решаемом случае
ГЛАВА 3. Модель Обухова-Крейчнана с «замороженным» полем случайной скорости: инстантонный анализ констант ренормировки
3.1. Асимптотика высоких порядков констант ренормировки
3.2. Инстантонный анализ
3.3. Частное решение
3.4. Выделение простых полюсов по е
3.5. Метод реплик
ГЛАВА 4. Модель Обухова-Крейчнана с «замороженным» продольным полем случайной скорости: инстантонный анализ предела сильной связи

4.1. Асимптотика сильной связи в модели с продольным коррелятором скорости
4.2. Выводы
Выносимые на защиту основные положения диссертации
Приложение 1
Приложение 2
Приложение 3
Литература

ВВЕДЕНИЕ
0.1. Турбулентность
Типичный пример турбулентности - течение жидкости по трубе с заданным перепадом давления Ар на ее концах: при малом Ар течение плавное («ламинарное»), с ростом же Ар при переходе через некоторое пороговое значение Дрпор плавное течение теряет устойчивость и в жидкости появляются хаотические завихрения, интенсивность которых возрастает с ростом Др. Одновременно усложняется структура потока жидкости: характерным размером впервые появляющихся вблизи порога вихрей является некоторый «внешний масштаб» системы Ьтах (в приводимом примере -диметр трубы), с ростом Ар эти первичные крупномасштабные вихри дробятся на все более мелкие. Режиму развитой турбулентности соответствует Ар » Дрпор- Тогда в системе одновременно присутствуют турбулентные

вихри всевозможных размеров от внешнего масштаба Ьтах до «диссипц-ционной длины» Ттг-„, для которой становится существенным затухание вихрей из-за вязкого трения. В стационарном режиме пся энергия, поступающая в систему от создающего градиент давления внешнего источника, в конечном счете, превращается в тепло из-за диссипации энергии для мелкомасштабных вихрей.
В общем случае роль Ар/ДрПОр играет безразмерный параметр - число Рейнольдса Не = '1>Ь,пах/и, где V - характерная средняя скорость течения, Ьтах ~ внешний масштаб, и - кинематическая вязкость среды.
При наличии турбулентности полное поле скорости У(£, х) представляется в виде суммы У(£, х) = ц(£, х) + (5(£, х), где £ - время, х €
- координата в ^-мерном пространстве, г;(£, х) - плавная ламинарная составляющая скорости, <£>(£, х) - сравнительно малая стохастическая (пуль-сационная) составляющая. Предметом исследования теории турбулентно-

— аналог поля скорости, g — константа связи, и — аналог вязкости. В отличие от более реалистичных моделей, поля £(£), V(/;) в модели
(1.1) не зависят от координат. Для случайных полейf и V подразумеваются гауссовы распределения с 5-образными по времени корреляторами Dç, Dy соответственно, уравнение (1.1) дополнено заданным нулевым начальным условием, <Д-сс = 0. Мы покажем, что в модели (1.1) инстантонный анализ приводит к ломаным экстремалям. Точки изломов зависят от исследуемых функций Грина модели.
Известно, что инстантонный анализ достаточно сложен с технической точки зрения. Он требует поиска решений нелинейных дифференциальных уравнений, для которых отсутствует даже теорема существования и единственности глобального решения. Применимость метода стацфазы — т.е. результаты инстантонного анализа — всегда проблематичны: возможно существование других экстремалей или неаналитичностей исследуемых функций, дающих более существенный вклад в асимптотики высоких порядков разложений. Поэтому обычно инстантонный анализ сложных полевых моделей дополняется демонстрацией метода на примере обычных числовых интегралов (см. [61, 63]). В работе [93] для апробации различных методов исследования асимптотик высоких порядков в динамике и была предложена модель (1.1). Данная модель является точно-решаемой, что позволяет проверять предлагаемые методы инстантонного анализа.
В качестве исследуемого объекта для модели (1.1) выбрана функция отклика G(t — £2)- Было найдено инстантонное решение в исходных MSR переменных. Определено функциональное пространство метода и класс функций (кусочно-непрерывные функции с разрывами производной в точках £1, £2). Для контроля полученного результата использовалось точное выражение для коэффициентов разложения по константе связи g функции отклика [93].