Структура квантовых матричных алгебр

• Автор: Сапонов, Павел Алексеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1996
• Место защиты: Протвино
• Количество страниц: 69 с. : ил

Содержание
I. Введение.
1.1 Уравнение Янга-Бакстера
1.2 Факторизующееся рассеяние на полупрямой и уравнение отражений
1.3 Квантовый метод обратной задачи рассеяния
1.4 Алгебра функций на квантовой группе как алгебра Хопфа.
II. Четные симметрии Гекке конечного ранга.
11.1 Симметрии Гекке и алгебры Т(і?) и С(В)
11.2 Квантовый след
11.3 Антисимметричные проекторы и квантовые тензоры Ле-ви-Чивиты
III. Характеристические соотношения для £(Д) алгебр.
IV. Характеристические соотношения для Т{К) алгебр.
V. Классификация алгебр векторных полей на квантовой группе БипОЬд(Ы).
Заключение
Приложение А
Список литературы

I Введение.
В математическом аппарате современной физики ключевую роль играет понятие симметрии, которое находит многочисленные и важные применения практически во всех разделах теории и эксперимента. Например, группа симметрий уравнений движения является основой для построения и классификации различных теоретико - полевых моделей (КЭД, КХД, Стандартная Модель, ОТО, суперсимметричные теории). Группа конформных преобразований важна в теории струн и критических явлений, дискретные симметрии имеют фундаментальное значение для физики твердого тела и так далее. Основой понятия симметрии являются группы тех или иных преобразований векторов состояния, динамических переменных, пространственных координат и т.п., описывающих физическую модель.
Пожалуй, наиболее впечатляющим результатом в математической физике последнего десятилетия было создание теории квантовых групп (КГ). Несмотря на свое название, КГ, строго говоря, группами не являются. Это алгебры Хопфа (определение и свойства см. в разделе 1.4), представляющие собой деформацию (квантование) универсальных обертывающих алгебр некоторых алгебр Ли. Теория КГ возникла как алгебраическая основа точно решаемых моделей квантовой теории поля и связанного с ними метода обратной задачи рассеяния, а также решеточных моделей статистической физики. Одним из центральных объектов, характерных для таких моделей, является Д-матрица, удовлетворяющая уравнению Янга-Бакстера. Задача поиска и классификации решений этого уравнения привела В.Г. Дринфельда [1, 2] (см. также работы Джимбо [4, 5]) к формулировке основных положений теории КГ.
После работ Дринфельда и Джимбо появились и другие формулировки теории, связанные с различными приложениями КГ. В качестве примера можно привести работы польского математика С.Л. Вороновича [6, 7]. Его подход базируется на теореме Гельфанда о том, что произвольная С* коммутативная алгебра А изоморфна алгебре всех не-

прерывных функций на некотором топологическом многообразии. Отказавшись от свойства коммутативности А, мы приходим к понятию матричной псевдогруппы — центральному объекту теории КГ в формулировке Вороновича.
Другим примером может служить подход, связанный с некоммутативной геометрией, предложенный Ю.И. Маниным, Ю. Вессом и Б. Зу-мино [8, 9, 10]. Квантовая группа возникает здесь как группа автоморфизмов некоммутативных линейных пространств.
Мы будем придерживаться Д-матричной формулировки [61], которая позволяет использовать удобную ковариантную технику вычислений. Основными объектами в этой формулировке являются уравнение Янга-Бакстера, так называемая алгебра ИТТ-соотношений и алгебра, порожденная уравнением отражений, для которых мы будем использовать обозначения Т(Д) и £(Д) соответственно. Строгое определение и свойства этих алгебр приведены в разделах III и IV.
Впервые уравнение Янга-Бакстера появилось в 1967 году в работе
Ч.Н. Янга [21] как некоторое условие согласования в квантовомеханической задаче об N частицах на прямой, взаимодействующих посредством потенциала V — с^<^8{х{ — х^). Янг показал, что при выполнении этого условия энергетические уровни и собственные функции гамильтониана могут быть вычислены точно с использованием координатного анзаца Бете.
Независимо это же уравнение возникло в работе Р. Бакстера [22] (см.,* также, книгу [24]), когда он изучал условия точной разрешимости восьмивершинной решеточной модели в двумерной статистической физике. После довольно долгого перерыва, прошедшего с момента решения Онсагером в 1944 году модели Изинга [25], работы Бакстера явились новым крупным шагом в области точно решаемых двумерных моделей, приведя к существенному прогрессу в их построении и изучении. В дальнейшем Бакстер исследовал условия точной интегрируемости восьмивершинной модели на произвольной нерегулярной решетке. При этом оказалось, что следствием уравнения Янга-Бакстера

Здесь е1-м — полностью антисимметричный Ж-тензор Леви-Чивиты.
Другой стандартный базисный набор симметричных полиномов связан со следом различных степеней матрицы А:
а(к) = £(А*)к — ТгАк , 1 < к < N . (3.4)
Базисные наборы (<т(А;)} и {«(А:)} связаны друг с другом соотношениями Ньютона:
к а (к) — 5(1) сг(к — 1) + ... + (—1 )к~1в(к — 1) <т(1) + (—1)кз(к) = 0. (3.5)
Рассмотрим теперь квантовую матричную £(Я) алгебру (2.5), связанную с замкнутой четной симметрией Гекке ранга р . Мы уже знаем (см. раздел II, а также [61, 83]) набор генераторов центра этой алгебры, обобщающий (3.4): это элементы вида
зд{к) = дТгчЬк . (3.6)
В классическом пределе д —> 1 59(&) —> в(А;), а множитель д выбран для упрощения последующих формул.
Обобщение второго базисного набора {сг(А;)} на квантовый случай не столь очевидно. Он состоит из комбинаций квантовых миноров матрицы Ь:
о-д(к) = аку(12-р1 {Ь1Я1... Як-)к «|12....р) ■ (3-7)
Неопределенные нормировочные множители а к будут фиксированы позже. Частичным оправданием такого выбора служит то обстоятельство, что именно выписанная в (3.7) комбинация Д-матриц обеспечивает инвариантность величин стд относительно левого присоединенного кодействия (2.6). Величины (3.6) также, с очевидностью, обладают этим свойством в силу соотношений (2.12).
Как известно, в случае Д-матрицы, отвечающей квантовой линейной группе, и параметра д, не являющегося корнем из единицы, каждое из множеств (я9(г)} и {сг?(г)} генерирует весь центр £(Д) алгебры [61]. В случае же других симметрий Гекке вопрос полноты этих наборов требует специального рассмотрения в каждом конкретном случае.