Применение метода обратной задачи для построения точных Решений 2+1-миерных интегрируемых нелинейных эволюционных уравнений

• Автор: Дубровский, Владислав Георгиевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 213 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Многомерные интегрируете нелинейные уравнения и подходы к их решению
1.2 Обзор содержания диссертации
1.3 Актуальность темы, цель работы; основные результаты, выносимые на
защиту
1.4 Научная новизна и практическая ценность, апробация и публикации
2 Модифицированное уравнение Кадомцева-Петвиашвили
2.1 Задача Коши для уравнения тКР
2.2 Точные решения тКР-1 уравнения
2.3 Задача Коши для уравнения тКР-П
2.4 Формулы метода 9-одева.ния для тКР уравнения
2.5 Построение точных решений уравнения тКР с помощью метода 9-одевания
2.5.1 Рациональные решения. Линейные лампы
2.5.2 Решения с функциональными параметрами
2.5.3 Линейные солитоны и бризеры
2.5.4 Преобразование Миуры между тКР и КР уравнениями
3 Когерентные структуры уравнения Ишимори
3.1 Формализм МОЗ для уравнения Ишимори
3.2 Общие формулы для вырожденных данных
3.3 Эволюция во времени данных обратной задачи
3.4 Точные формулы для солитонных решений уравнения Ишимори
3.5 Стационарные границы
3.6 Зависящие от времени границы
3.7 Решения в терминах переменной стереографической проекции
4 2+1-мерное уравнение Гарри Дима
4.1 Формулы метода 9-одевания и точные решения
4.2 Точные решения в неявной форме с использованием волновых функций
тКР уравнения

5 2+1-мерное обобщение уравнения синус-Гордон
5.1 Пара Лакса и некоторые общие свойства 2+1-мерного уравнения синус-
Г ордон
5.2 Построение точных решений уравнения 2DSG с постоянными границами методом 9 — 9-одевания
5.2.1 Решения с функциональными параметрами
5.2.2 Линейные солитоны (кинки) и бризеры
5.3 Задача Коши для 2DSG-I уравнения
5.4 Задача Коши для 2DSG-II уравнения
6 Локализованные решения 2DSG-I уравнения
6.1 Точные формулы для когерентных структур 2DSG-I уравнения
6.2 Точные решения возмущённого телеграфного уравнения
6.3 Построение точных решений 2DSG-I уравнения с использованием решений возмущённого телеграфного уравнения
6.4 Точные решения уравнения возмущённой струны
6.5 Построение точных решений 2DSG-I уравнения с использованием решений уравнения возмущённой струны
7 Точные решения с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений
7.1 Общие формулы метода 9-одевания для построения решений с постоянными асимптотическими значениями на бесконечности
7.2 Решения с функциональными параметрами
7.3 Линейные солитоны и бризеры
7.4 Рациональные решения
8 Точные решения некоторых 2+1-мерных интегрируемых нелинейных уравнений, соответствующие кратным полюсам
8.1 Общие формулы метода 9-одевания для построения точных решений с кратными полюсами
8.2 Решения с кратными полюсами для уравнения KP
8.3 Решения с кратными полюсами для уравнения inKP
8.4 Решения с кратными полюсами для DS системы уравнений

1 Введение
Основным инструментом описания и исследования физических явлений являются линейные и нелинейные дифференциальные уравнения. Хорошо известна фундаментальная роль линейных дифференциальных уравнений, но не менее важны и нелинейные уравнения. Так уравнения теории тяготения Эйнштейна, гидродинамические уравнения Эйлера и Навье-Стокса, уравнения физики элементарных частиц и т.д. являются нелинейными уравнениями. Развитие методов решения и анализа дифференциальных уравнений, в особенности нелинейных уравнений, представляет одну из важнейших задач теоретической и математической физики.
Немногим более тридцати лет назад был открыт метод обратной задачи рассеяния. Ключевая идея, лежащая в основе этого метода - сведение задачи точного интегрирования нелинейных уравнений к решению ряда вспомогательных линейных задач, оказалась необычайно плодотворной. Как оказалось, метод обратной задачи рассеяния применим к широким классам обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений, нелинейных уравнений в частных производных, разностных, интегро-дифференциальных и других уравнений. Многие из нелинейных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи, такие как уравнение Кортевега де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение синус-Гордон, уравнение одномерного ферромагнетика Гейзенберга, уравнение резонансного волнового взаимодействия, уравнение Кадомцева-Петвиашвили и другие имеют большую степень универсальности и встречаются в самых разнообразных областях физики. В целом, нелинейные интегрируемые уравнения имеют широкую область применения: от теории гравитации и квантовой теории поля, физики плазмы и нелинейной оптики до гидродинамики и физики твёрдого тела.
В настоящее время значительно усилился интерес к интегрируемым моделям в физике. Концепция интегрируемости является одной из ключевых в современных исследованиях по теоретической физике. Исследуются новые интегрируемые нелинейные системы классической механики и гидродинамики. Интенсивно изучаются маломерные интегрируемые нелинейные модели квантовой теории поля и статистической физики. На основе достижений метода обратной задачи в применении к классическим интегрируемым системам был развит и квантовый метод обратной задачи, успешно применяемый к 1+1-мерным квантовым интегрируемым моделям, весьма актуальной является задача обобщения квантового метода обратной задачи на случай 2+1-измерений.

Хо(х,у) := х{х,УЛ = 0) = 1 + гА*Х* + * X] Хк Хк +

система уравнений (2.1.50),(2.1.51) представяет собой уравнения обратной задачи для проблемы (2.1.9).
Набор величин:
образует набор данных обратной задачи. Уравнения обратной задачи (2.1.50), (2.1.51) однозначно разрешимы по крайней мере для достаточно малых данных; решив эти уравнения при заданных данных Т, можно найти потенциал и(х,уД) по формуле реконструкции (2.1.52). Отметим, что набор данных Т (2.1.54) обратной задачи не является полным, так как был учтён вклад только простых полюсов в дискретный спектр. Построение точных решений, соответствующих кратным полюсам, будет рассмотрено в восьмой главе диссертации.
Подчеркнём один важный момент. Решение х(А) уравнений обратной задачи (2.1.50), (2.1.51) удовлетворяет линейному уравнению (2.1.9) с и(х,у,Ь), задающимся посредством (2.1.52) , при любых данных Т без всяких ограничений на эти данные (см. обсуждение после (2.1.10)). Такое свойство уравнений и данных обратной задачи является важным преимуществом способа введения спектрального параметра формулой (2.1.8).
Для применения уравнений обратной задачи к решению задачи Коши в случае тКР-1 уравнения следует, как обычно , определить зависимость от времени данных обратной задачи. Это можно проделать стандартным способом , применяя вторую линейную вспомогательную задачу (2.0.3) при условии /ф“ с1хи(х,у,0) = 0иа = 4г’Л—3 в пределе х2 + у2 —> оо. После несложных вычислений находим:
? := < Р,Р < +°°; к(к = !> ">«*); А* ,7* (к = !»»«-)) (2.1.54)
(2.1.55)
Следовательно
(2.1.56)