Применение 2-спинорного исчисления в некоторых моделях теории поля

• Автор: Кулябов, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 84 с.

1 Введение в общую теорию спиноров
1.1 Формализм абстрактных индексов
1.2 Глобальная спинорная структура
1.3 Спиноры: геометрический подход
1.3.1 Спиновые преобразования
1.3.2 Изотропные флаги
1.3.3 Спин-вектор
1.3.4 Спинорные операции
1.4 Связь спин-матриц с кватернионами
1.5 Спиноры: алгебраический подход
1.5.1 е-спиноры
1.5.2 Комплексное сопряжение
1.6 Связь спинорного и векторного базисов
2 Приложения 2-спинорного формализма
2.1 Тензорное представление спинорных операций
2.1.1 Тензорная запись спинорных дифференциальных уравнений

2.2 Дираковские 4-спиноры и лоренцовы 2-спиноры
2.2.1 Построение 4-спинорного формализма
2.2.2 Инвариантные соотношения
2.3 Киральная модель Скирма и её спинорная реализация
2.3.1 Модель Скирма
2.3.2 Случай внутренней группы 5 II(2)
2.3.3 Случай внутренней группы 517(3)
2.4 Вычисление матричных элементов
2.4.1 Метод 2-спиноров
2.4.2 Векторный формализм
3 Устойчивость самогравитирующих солитонов
3.1 Основные положения теории устойчивости
3.2 Кинки в системе взаимодействующих скалярного, электромагнитного и гравитационного полей
3.3 Устойчивость решений
Заключение
Литература

В данной работе рассмотрены две темы: применение лоренцевых 2-спиноров для решения физических задач (в частности при решении задач КЭД) и исследование влияния гравитационного поля на устойчивость само-гравитивующих солитонов в нелинейной электродинамике.
Применение лоренцевых 2-спиноров
Пространство-время, в котором мы живём, с очень большой степенью точности можно рассматривать как гладкое четырёхмерное многообразие, наделённое гладкой лоренцевой метрикой в рамках частной или общей теории относительности. Наиболее употребимым формализмом для математического описания многообразий является тензорный анализ (или один из эквивалентных альтернативных подходов типа картановского исчисления подвижных реперов). Однако именно для четырёхмерных многообразий с лоренцевой метрикой существует и другой формализм, во многих отношениях более удобный. Это — 2-спинорный формализм [18,20]. Ещё в начале века Картан ввёл общее понятие спинора [48], потом Дирак на примере своего уравнения для электрона продемонстрировал фундаментальную роль спиноров в физике, а Ван дер Верден разработал основы 2-спинорной алгебры и построил систему обозначений — однако до сих пор 2-спинорное исчисление всё ещё сравнительно непривычно.

Выберем направляющие углы следующим образом: ipu — срп — срр <ре = 0, ви = вп = тс/2, 9е и вр — произвольные.
Введём спиноры:

/соввр/2^
1) Сл> II V

A A
> |«з)

^sin вр/2
Тогда можно записать [см. (2.4.8)]:

cos#е/2
(2.4.12)
— /2 (^Т /щ, ± Sj/V'Еу ’спЧУ) |s0),
ип± = —^ (/Еп + тпп ± snVEn тП'п) l^i))
Up± — !— (y/Ê~p + Tïlp i SpJËp TYlp) | -S2 ) j
Ue± = (VEe + me ± seVEe- me) |s3).
Из (2.4.11) получаем G р
M = -j= (VEe + me + sey/Ee- me) (VEu + mu + sv/Ev - m^) x
(2.4.13)
(2.4.14)
(2.4.15)
(2.4.16)

i.9v 9a) [у/En T тпп snVK Trin) [QEP + Tïip spJEp тпр) x
X (s3|si)(e2|so) +
T (qv ~b Qa) (V'En + mn + snVEn cnTl) (-y/Ep T тп,р T spjEp тпр) x x ((s3|5o)(s2|si) - (s3|si)(s2|so))
G р
— ~/2 ^e Eu “H 'ffl'j/ H- Sy/~Èjij X
(KQv Qa) {y^En “H rnn $nл/En îîijjJ Ер -|- 77ip SpJ Ер x
x cos9e/2co$6p/2