Квазиклассические методы для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и нелинейного уравнения Шредингера в теории когерентных квантовых ансамблей

• Автор: Борисов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 112 с. : ил.

1 Кинетика атомарного квантового ансамбля в квазиклассиче-ском приближении

1.1 Атомарный ансамбль в квантованном электромагнитном поле

1.2 Уравнение эволюции матрицы плотности атомарного ансамбля

1.3 Кинетическое уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова для атомарного ансамбля

1.3.1 Редукция квантового кинетического уравнения

1.3.2 Атомарный ансамбль в световом поле

1.3.3 Классические уравнения Эйнштейна - Эренфеста

1.3.4 Координатное и импульсное распределение атомов ансамбля

1.4 Основные результаты

2 Квазиклассические асимптотики одномерного НУШ с внешним полем

2.1 Модели атомарного ансамбля и распространения оптических импульсов в световодах

2.2 Солитоиоподобиые квазиклассические решения
2.2.1 Класс солитоноподобных функций
2.2.2 Построение асимптотического решения
2.3 Численное моделирование
2.3.1 Разностная схема
2.3.2 Численное и асимптотическое решения НУШ в полях специального вида
2.4 Основные результаты

3 Квазиклассическое приближение многомерного НУШ в локальной области
3.1 Свойства решений многомерного НУШ с фокусирующей нелинейностью
ф 3.2 Класс функций, локализованных в окрестности параболической
поверхности
3.3 Линейное ассоциированное уравнение Шредингера
3.4 Квазиклассические решения ассоциированного уравнения
3.4.1 Система в вариациях
3.5 Квазиклассические решения НУШ
3.5.1 Операторы симметрии
3.5.2 Главный член квазиклассической асимптотики
ф 3.5.3 Оператор эволюции
3.6 Квазиклассическое приближение для НУШ с полем осциллятора
3.7 Основные результаты
4 Квазиклассические решения НУШ с внешним полем в полярных координатах
4.1 Класс функций, квазиклассически сосредоточенных в окрестности замкнутой плоской кривой
4.2 Главный член асимптотического решения НУШ в полярной си-
* стеме координат
4.3 Изотропный гармонический осциллятор
4.4 Основные результаты
Заключение
Литература

Работа посвящена исследованию самосогласованных нелинейных моделей когерентных атомарных ансамблей, взаимодействующих с квантованным электромагнитным полем в присутствии внешних полей методами квазиклассиче-ских асимптотик. Рассматриваемые системы в приближении самосогласованного поля [1-3] моделируются нелинейными уравнениями (Фоккера-Планка-Колмогорова, Гросса-Питаевского, Шредингера и д.р.) с переменными коэффициентами, описывающими воздействие внешних полей на систему. Анализ уравнений и их решений проведен методами квазиклассических асимптотик [3-24] в комбинации с компьютерным моделированием [25-31].
Актуальность темы работы обусловлена тем, что когерентные квантовые ан-'* самбли активно изучаются и служат основой для теоретического описания явлений в современной атомной физике, квантовой и нелинейной оптике.
С конца прошлого века в атомной физике интенсивно развиваются новые направления, изучающие воздействие лазерных источников света на поступательные и внутренние степени свободы атомов, которые привели к ряду важных открытий. В 1997 г. С. Чу, К. Коэн-Таннуджи, У. Филлипс были удостоены Нобелевской премии за достижения в области лазерного охлаждения и захвата нейтральных атомов [32]. Технология лазерного охлаждения позволила достиг-® нуть сверхнизких температур (вплоть до 10-9 К) для атомных ансамблей, на
основе чего были экспериментально получены разреженные когерентные атомарные ансамбли газов щелочных металлов, взаимодействующие с лазерными полями. Это, в свою очередь, стимулировало развитие атомной оптики [33-36] и атомной интерферометрии [37-39] (управление когерентными волнами материи). В 2001 г. работы В. Кеттерле, Э. Корнелла и К. Вимана были отмечены Нобелевской премией за получение бозе - эйнштейновского конденсата в разреженных атомарных ансамблях щелочных металлов (см. [40]).
4 Когерентные атомарные ансамбли охлажденных ионов рассматриваются как
системы, перспективные для создания квантовых гейтов - элементной базы квантовых компьютеров [41-44]. Это является дополнительным аргументом в

Глава

Квазиклассическое приближение многомерного НУШ в локальной области
3.1 Свойства решений многомерного НУШ с фокусирующей нелинейностью
Локализованные решения НУШ с фокусирующей нелинейностью в (1 + п) - мерном пространстве - времени при п > 1 согласно [72,82,87-89] неустойчивы. Устойчивые солитоноподобные решения могут, в принципе, возникать в присутствии компенсирующих факторов в виде высших нелинейностей или (и) внешних полей. В [151] численными методами исследовались условия возникновения солитоноподобных возмущений в присутствии высших нелинейностей. Распространение связанных солитоноподобных кластеров в кубично - нелинейной слабо дефокусирующей среде рассматривалось в [152] для двух связанных НУШ в (1 + 2) - мерном случае.
Решения НУШ, не обладающие свойством полной локализации, также представляют интерес. В частности, нелинейные волны на глубокой воде описываются двумерными плосковолновыми солитонными решениями НУШ (см. [153] и цитированную там литературу), локализованными лишь в направлении распространения волны.
В отличие от (1 + 1) — мерного случая, для в (1 + п) - мерного НУШ, п > 1, методы точного интегрирования неизвестны. Поэтому в многочисленных рабо-тах, посвященных многомерному НУШ с внешним полем (переменными коэффициентами), используются как правило, различные упрощающие модельные представления, или методы компьютерного моделирования.
В этих условиях аналитические решения многомерного НУШ могут быть по-