Преобразование Дарбу и когерентные состояния

• Автор: Шекоян, Ланджик Антонович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 105 с.

Содержание
Введение
1 Глава
1.1 Преобразование Дарбу первого порядка
1.2 Преобразование Дарбу порядка N
1.3 Об эквивалентности преобразования Дарбу для стационарного и нестационарного уравнений Шредингера
1.4 Один класс потенциалов баргмановского типа
2 Глава
2.1 ‘Полуограниченный оператор симтрии
2.2 Преобразование когерентных состояний
2.3 Преобразование Дарбу когерентных состояний свободной частицы
2.4 Определение мер при разложении единичного оператора по когерентным состояниям
2.5 Голоморфное представление
3 Глава
3.1 Типы потенциалов
3.2 Когерентные состояния
4 Глава
4.1 Когерентные состояния сингулярного осциллятора
4.2 Преобразованные когерентные состояния
Заключение
Список литературы

Введение
В настоящее время известны различные аналитические методы интегрирования дифференциальных уравнений, возникающих в теоретической физике, и получены их решения для многих частных случаев.
Например, на основе метода разделения переменных, связанного с отысканием полного набора операторов симметрии, являющихся интегралами движения, в [1] перечислены все внешние поля допускающие точные аналитические решения для уравнений Клейна-Гордона и Дирака. Для целого ряда случаев в [2] проинтегрировано уравнение Шредингера методом Д-разделения переменных. Преобразование К умер а- Дну в и л ,тй [3]-[6] является наиболее общим преобразованием, допускающим приведение дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами к уравнению наперед заданного вида того же порядка. Наиболее полное исследование уравнений Шредингера, сводящихся этим преобразованием к уравнению для гипергеометрических функций, содержится в [7, 8]. Сравнительно недавно был предложен новый метод точного решения линейных дифференциальных уравнений — метод некоммутативного интегрирования [9]. Этот метод применен в [10]-[11] к уравнениям Шредингера и Клейна-Гордона. Отметим также, что существуют задачи промежуточные между точно решаемыми и точно нерешаемыми [12]-[14].
Среди методов точного интегрирования квантовой механики особое место занимают методы конструирования точно решаемых потенциалов стационарного уравнения Шредингера. В случае нестационарного уравнения Шредингера они гносеологически проистекают из аналогичных процедур для стационарного случая, суть которых заключена в следующем.

Рассматривается соотношение сплетания ЬЩ — ЛЬ. связывающее два гамильтонина, Но — — д2х + Уо(х) и Н = — д% + У(х), оператором преобразования А, переводящим решения одного уравнения Шредингера в решения другого. Связь потенциалов V(х) и У0(х) оказывается зависящей от вида оператора преобразования.
Известны различные методы конструирования точно решаемых потенциалов уравнения Шредингера. К ним относятся факторизация, преобразование Абрахама-Мозеса, методы суперсимме-тричной квантовой механики и преобразование Дарбу.
Метод факторизации впервые был применен к решению задач квантовой механики Шредингером [15]. В дальнейшем им пользовался Дирак [16]. Инфельд и Холл [17] развили этот метод для широкого класса дифференциальных уравнений второго порядка с граничными условиями. Миелник [18] разработал модифицированный метод факторизации, который дает возможность построить класс одномерных стационарных потенциалов, имеющих спектр гармонического осциллятора.
Подход Абрахама и Мозеса [19] тесно связан с методом обратной задачи рассеяния в квантовой механике [22] и, в частности с

уравнением Гельфана-Левитана-Марченко [20]-[22]. Модификации этого метода рассматривались в [23, 24].
Суперсимметричная квантовая механика, впервые введенная Виттеном [25], использовалась в работе Генденштейна [26] для нахождения спектра уравнения Шредингера. В [27] было сделано прямое обобщение простой суперсимметричной конструкции на многомерный случай, которое, по существу, сводится к эквивалентности двух матричных систем, но не устанавливает спектральных связей между скалярными гамильтонианами.
Классический метод Дарбу [28] основан на применении дифференциального оператора первого порядка в качестве оператора

р1к) = (оі — і к) х(а іК{ах) — ік) ехр (ікх)
Функция Йоста Гк) — к(к + гаї)"1 определяет фазу асимптоти ческого поведения при х —> оо регулярного решения
где і7! = ІііІ ехр(—іб). Интересно отметить, что выбор Ьі ф 0 соответствует сдвигу по оси х на величину Д — Ь)а потенциала с Ь = 0. Выбором параметров а і и Ъ величине Д молено придать любое конечное значение. Тем не менее на полуоси потенциал Ух дискретного спектра не имеет и имеется один дискретный уровень на всей вещественной оси. Иными словами появление дискретного ур'овня в спектре этого потенциала обусловлено его асимптотическим поведением при х —> оо. При N — 2 мы имеем двухсолитонный потенциал
с единственным уровнем дискретного спектра равным —а? соответствующем волновой функции
У2 - 8(а? - 4)
а1сЪ.2ахх + а{і2а2Х
[(а2 + аі)сЬ(а2 - ах)х + (а2 - аі)сй(а2 + аі):с]2
<р0 = 2л/аі(а| - а?)
(а2 - аі)сй(а2 + ах)х + (а2 + аі)сЬ(а2 - аі)ж
и функцией Йоста вида Е2к) ~ [к — іах)(к + га2)