Применение теории комплексного ростка в статистической физике

• Автор: Коваль, Геннадий Васильевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ ЛИУБИЛЛЯ
1.1 Связь решений уравнения Лиувилля и
решений уравнения Шредингера
1.2 Различные постановки задачи для уравнения Лиувилля
ГЛАВА 2. НЕКОТОРЫЕ ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ЛИУВИЛЛЯ И ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНОГО РОСТКА
2.1 Новые решения уравнения Лиувилля
для одномерного гармонического осциллятора
2.2 Новые решения уравнения Лиувилля
для гамильтонианов с точкой покоя
2.3 Точно решаемый пример для системы фермионов
и новый вариационный принцип Маслова
ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ НА РЕШЕТКЕ
3.1 Разностная аппроксимация для уравнения Лиувилля. Сведение задачи к уравнению типа
уравнения Шредингера
3.2 Построение асимптотических решений
для уравнения Лиувилля на решетке
ГЛАВА 4. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ЛИУВИЛЛЯ. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ГЛАВА 5. УРАВНЕНИЯ ХАРТРИ-ФОКА КАК УРАВНЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК В ЗАДАЧЕ
ДЛЯ ФЕРМИОННОЙ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Уравнение Лиувилля играет важную роль в классической статистической физике. Это уравнение описывает эволюцию во времени состояния классической статистической системы [3,8,48]. Для системы одинаковых N частиц, которые находятся во внешнем поле и(х) и попарно взаимодействуют друг с другом с потенциалом взаимодействия У( хь Х2) = У( Х2, хД уравнение Лиувилля имеет вид

где пт - масса частиц, 1 - время, Xj, pj е Л3 - координата и импульс частицы, где введено обозначение типа а — - а“ для производных по трехмерным
Щ> а=1 Оъ
Переменным, везде далее будем считать, что ш=1. В статистической физике функции р«;; Х|,рт;...; х.рм) придают смысл плотности вероятности в фазовом пространстве [3,8]. Это означает, что величина р(1;х°,р°;...;х£,,Рк)с1х1с1р1...<1хмйрм является вероятностью того, что в момент времени 1 система находится в области фазового пространства х“а < х“ < х°а + йх“, р°я < р“ < р°а + йря, а - 1, 2, 3, ] = 1,
силу тождественности частиц друг другу (хотя в классической физике они различимы) обычно рассматривают симметричные решения уравнения (0.1). Это значит, что функция р(Е Xi.pi; ...; хг.р) в любой момент времени 1 не изменяет своего значения при перестановке (хр -р|) и (х]0 р). Легко убедиться, что если это условие выполнено в какой-то момент времени (0, то оно выполняется для
Последний случай гораздо проще для исследования, так как приходится иметь дело ие с уравнением в частных производных, а с линейной алгебраической системой уравнений. Этот более простой пример позволяет, кроме того, продемонстрировать силу метода комплексного ростка в многочастичных задачах. В связи с этим мы рассматриваем в главе 3 разностную аппроксимацию для уравнения Лиувилля. Мы, таким образом, выделили из общей проблемы нахождения решений уравнения (1.19), (1.20) частные задачи, которые будут решены в следующих главах.