Обобщенные вариационные принципы и метод исчезающей вязкости для некоторых квазилинейных уравнений и систем уравнений

• Автор: Соболевский, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

Оглавление
Введение
1 Существование обобщенных решений с периодическим градиентом уравнения Гамильтона-Якоби
§1.1 Обобщенные решения с периодическим градиентом уравнения Гамильтона-Якоби
§1.2 Функционал действия и функция действия
§1.3 Свойства функции действия
§1.4 Формула Лакса-Олейник
§1.5 Редукция к функциональному уравнению
§1.6 Существование решений с периодическим градиентом
§1.7 Н(а) как усредненный гамильтониан
§1.8 Обобщение на многомерный случай
2 Условия единственности обобщенного решения с периодическим градиентом и теория Обри-Мезера
§2.1 Многозначное отображение, связанное с периодической функцией §а(т)
§2.2 Инвариантное множество отображения Уа
§2.3 Число вращения
§2.4 Некоторые свойства отображения Уа
§2.5 Случай иррационального числа вращения
§2.6 Случай рационального числа вращения

§2.7 Обобщенная модель Френкеля-Конторовой и связь с теорией Обри-
Мезера
3 Обобщенный вариационный принцип и метод малой вязкости для системы уравнений одномерной газовой динамики без давления
§3.1 Система уравнений одномерной газовой динамики без давления . 73 §3.2 Лагранжевы массовые координаты и построение решения в гладком случае методом характеристик
§3.3 Обобщенные решения системы уравнений одномерной газовой динамики без давления
§3.4 Представление массовой меры с помощью выпуклой функции
§3.5 Массовая функция и обобщенный вариационный принцип
§3.6 Вязкостное возмущение системы уравнений одномерной газовой
динамики без давления
§3.7 Некоторые свойства вязкостных обобщенных решений
§3.8 Предел при исчезающей вязкости обобщенного вязкостного решения уравнения для массовой функции
§3.9 Предел при исчезающей вязкости классического решения системы уравнений одномерной газовой динамики без давления
в случае гравитирующего вещества
Заключение
Приложение

Введение
В настоящей диссертации рассмотрены математические модели, встречающиеся в теории нелинейной гравитационной неустойчивости в космологии (т.н. «одномерная модель прилипания»), физике твердого тела (модель одномерного кристалла Френкеля-Конторовой) и неравновесной статистической механике (бильярдные модели, газ Лоренца при ненулевой температуре рассеивателей). С математической точки зрения эти модели объединяются использованием специального вида явных представлений решений некоторых квазилинейных и нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных первого порядка (т.н. «систем законов сохранения»). Следуя терминологии, введенной Я.Г. Синаем и др. [57, 9], будем называть такие явные представления обобщенными вариационными принципами. Полученные результаты могут быть применены для математически строгого обоснования физических выводов перечисленных выше теорий.
1. Системой законов сохранения называется квазилинейная система уравнений вида
где С1 (и) — матрица, составленная из производных компонент вектор-функции по компонентам неизвестной вектор-функции и = «(£, х) [А, 65, 25, 80]. Название «система законов сохранения» связано с тем, что уравнения (1) эквивалентны интегральным соотношениям
выражающим тот факт, что величина, распределенная вдоль оси х с плотностью и(£, х), не имеет источников или стоков и может изменяться лишь за счет потока, величина которого связана с локальной плотностью функцией С (и) («функцией потока»).
ди дР{и) ди
дЬ дх дЬ
= + 7?'(и)— = 0, t,xeШ,u,Fe Е"

Введем обозначение sa(:r) = 5° (О, х) — ах = sa(0,x). Из условия периодичности градиента (1.5) следует, что
“(l, х) — ах + Н(а) = sa(x).
Следовательно,
min (s“(y) + а(у — х) + 1/(0, у; 1, ас)) + Н (а) = sa(x).

Пользуясь введенными выше обозначениями, последнее равенство молено переписать в виде (1.25).
С другой стороны, пусть sa(x) есть непрерывная периодическая функция, удовлетворяющая функциональному уравнению (1.25); тогда обобщенное вязкостное решение (1.19) задачи Коши для уравнения (1.1) с начальными данными So(x) = ах + sa(x), очевидно, имеет вид (1.5). □
§1.6 Существование решений с периодическим градиентом
Теорема 1.12 Пусть функции Н0(р), U(t,x) удовлетворяют условиям (.Н)-(Н4); тогда для любого а 6 R существует обобщенное вязкостное решение уравнения (1.1) с периодическим градиентом, имеющее вид
Sa(t,x) = ах — H(a)t + sa(t,x),
где sa(t,x) есть непрерывная периодическая функция, а а i-> Н (а) есть выпуклая функция, удовлетворяющая неравенствам
т= min U(t,x) Н(а) — Н0(а) max U(t,x) = M. (1.26)
(M)eR2 ' (t,rt)sR2
Доказательству теоремы предпошлем следующие леммы.