Суперинтегрируемые системы в пространствах постоянной кривизны

• Автор: Погосян, Георгий Самвелович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 240 с. : ил

Содержание
Введение

Глава 1 Контракции и разделение переменных, на двумерной сфере и гиперболоидах

1 Системы координат и интегралы движения на 52

1.1 Системы координат на

1.2 Системы координат на двумерном гиперболоиде Н

1.3 Системы координат на евклидовой плоскости Е

1.4 Системы координат в псевдо-евклидово.м пространстве £ід

2 Контракции алгебр и групп Ли

2.1 Контракции от го(3) к е(2)

2.2 Контракции от группы 50(3) к группе Е(2)

® 2.3 Контракции от ,?о(2,1) к е(2)
2.4 Контракции от йо(2,1) к е(1,1) •
3 Контракции систем координат
3.1 Контракции систем координат на 52
3.2 Контракции систем координат от ІІ2 к Е
3.3 Контракции от систем координат на Н2 к Едд
4 Контракции базисных функций па 52 и Н2
4.1 Контракции сферического базиса на
4.2 Контракции эллиптического базиса на 52
4.3 Контракции псевдо-сферичсского базиса на Н
4.4 Контракции эквидистантного базиса на Н
Глава 2 Контракции и разделение переменных на трехмерной сфере
ф 1 Системы координат на 5з и Ез
1.1 Эллиптические системы координат
1.2 Эллипсоидальная система координат
1.3 Системы координат в Евклидовом пространстве Ез
2 Контракция алгебры 50(3), систем координат и интегралов движения
2.1 Контракция алгебры зо(3)
2.2 Контракции подгруииовых систем координат и базисов
2.3 Контракции в межбазисных разложениях
2.4 Контракции в эллиптических системах координат
2.5 Контракции эллипсоидальной системы координат

3 Эллиптические базиси
в 3.1 Разложение эллиптического базиса по цилиндрическому
3.2 Разложение эллиптического базиса по сферическому
3.3 Переход к гиперсферическому и цилиндрическому
4 Эллипсоидальный базис
4.1 Решение волнового уравнения Ламэ
4.2 Эллипсоидальные волновые функции
Глава 3 Контракции и разделение переменных на N - мерной сфере
1 Разделение переменных ъ N - мерных однородных пространствах
1.1 Подгрупповые системы координат на 5дг и метод деревьев
1.2 Гиперсферичсские волновые функции па Бп
1.3 Подгрупповые координаты на Еп и кластерные диаграммы
• 2 Контракции алгебры Ли, систем координат и собственных функций
2.1 Контракции подгрупповых систем координат. Графический метод
2.2 Контракции волновых функций
3 Межбазисные разложения и контракции
3.1 Переходы между гнперсферическими функциями
3.2 Контракции в межбазисных разложениях
Глава 4 Суперинтегрируемость в комплексном пространстве Е2с
1 Суперинтегрируемые системы в Е2С
1.1 Невырожденные потенциалы
1.2 Квадратичная алгебра
2 Суперинтсгрируемые системы в Е2
2.1 Обобщенный круговой осциллятор
щ 2.2 Потенциал Холта
2.3 Обобщенный кулоновский потенциал
2.4 Потенциал Виитернитца-Смородинского
3 іМежбазисіше разложения
3.1 Вычисление матрицы перехода
3.2 Связь с коэффициентами Клебша-Гордана группы 51/(1,1)
Глава 5 Суперинтегрируемые системы на комплексной сфере Б2с
1 Суперинтегрируемость на комплексной сфере Б2С
1.1 Суперинтегрируемые потенциалы на Б2с
1.2 Системы координат на комплексной сфере Б2,с

1.3 Квантовая супершітгерируемость н квадратичная алгебра

2 Кулоп-осцилляторная дуальность
2.1 Преобразование Леви-Чивиты на и Н
2.2 Решение комплексного уравнения Шрсдингера
3 Супсриитегрируемость на
3.1 Сингулярный осциллятор
3.2 Сингулярный кулоновский потенциал
4 Суперинтегрируемые системы на Я2
Глава 6 Многомерные суперинтегрируемые системы
1 Трехмерные суперинтегрируемые системы
1.1 Сингулярный изотропный осциллятор
• 1.2 Анизотропный осциллятор
1.3 Сингулярный кулоновский потенциал
2 N-мерные суперинтегрируемые системы
2.1 Декартовый и гиперсфсрический базисы
2.2 Связь между декартовым и гиперсфериеским базисом
2.3 Дерево перехода и правила соответствия
3 Кулоновская проблема па S3
3.1 Обобщенное преобразование Кустанхеймо-ПІтифеля
3.2 Кулон-осцилляторпая дуальность
3.3 Эллиптический базис
4 Кулон-осцилляторная аналогия па сфере и гиперболоидах
4.1 Кулои-осшшляторная связь на Sn
4.2 Кулон-осциляторпая связь на n-мерном двухполосном гиперболоиде
Ф 4.3 Кулон-осциляторпая связь на д-мерном однополосном гиперболоиде
Заключение
Приложение
Литература

Далее, разрешая (3.82) относительно переменных находим
6

г | *? + ** | {х-хУ

откуда видим, что в пределе Я —> оо
6->

А - А
2 Я2 I ’
(3.83)
(3.84)
и следовательно координаты (х,х2) (3.82) контрактируют в декартовы координаты:
XI —>■ X Х2 —У у.
Для интеграла движения Хес в пределе Я2 ~ а —> оо получаем выражение
-ЕС = (тг? - 1Г2) -}■ р1 - р1 = 1С.
5. Переход от эллиптических координат на Я2 к параболическим на Е2.
Положим в эллиптической системе координат (1.24) к = к' = jf2 ('1X0 тоже самое «з — я2 = «2 — “1 = а)- После чего получаем
их = -^т=(япа(1п/3 + с1шмп /3), и2 — Яспасп/?, = —у=(<4пазп/3 — впоДп/З). (3.85)'
у2 /
а оператор (1.5) преобразуется в
Хер — — н(^1 £з + ЬзЬх). (3.86)
с правильным предельным переходом к (1.44) при Я —» оо. Из формул (3.85) имеем
%/2с1п/

(3.87)
Соотношения (3.87) определяют процедуру предельного перехода. Действительно, положим
81Ю = _1 + |_ ,/2с1пД = 1 +
и следовательно в пределе В —> со получаем
2 2 и — ?;
Хх -¥ х — , х2 у = ии,
то есть параболическую систему координат (1.47).

(3.88)