Нелинейные уравнения скалярного и спинорного полей в теории гравитации: точные плоско-симметричные решения

• Автор: Ющенко, Леонид Павлович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с.

Оглавление
Введение
1 Точные самосогласованные плоскосимметричные решения уравнения нелинейного скалярного поля
1.1 Решение исходной системы уравнений
1.2 Уравнение йіп-Гордона
1.3 Уравнение Клейна-Гордона
2 Точные плоско-симметричные решения нелинейных уравнений спинорного и скалярного полей с минимальной связью
2.1 Решение исходной системы уравнений
2.2 Самосогласованные решения линейных уравнений спинорного
и скалярного полей
2.3 Самосогласованные решения системы уравнений нелинейного спинорного и линейного безмассового скалярного полей
2.4 Самосогласованные решения уравнения скалярного поля типа Борна-Иифельда
2.5 Самосогласованные решения системыуравнений нелинейного спинорного и нелинейного скалярного полей
3 Точные статические решения уравнений нелинейного спи-

норного поля во Вселенной Гёделя
3.1 Уравнение спинорного поля с нелинейным членом, являющимся произвольной функцией инварианта Б — фф
3.2 Уравнение спинорного поля с нелинейностью, являющейся произвольной функцией инварианта 1р = Р2 — (гфу5ф)2
3.3 Уравнение спинорного поля с нелинейным членом, являющимся произвольной функцией инвариантов 1У = Б2 + Р2,
1Т = Б2 ~ Р2
Заключение
Литература

Введение
Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, не содержащие малого параметра, долгое время были для аналитиков «вещью в себе», к которой не имелось никаких подходов. Самое большее, на что можно было рассчитывать — это на нахождение отдельных классов точных решений, обычно связанных с группами симметрий, допускаемыми уравнениями. В тех случаях, когда этого было недостаточно, оставалось полагаться на вычисления на ЭВМ.
Тем не менее уравнения нелинейной математической физики, поддающиеся глубокому математическому анализу с помощью аналитических методов, в настоящее время исчисляются многими десятками. Эти уравнения часто называют интегрируемыми, хотя интегрируемость в другом смысле слова доказывается лишь для немногих из них. Число интегрируемых уравнений продолжает возрастать.
Характерной чертой интегрируемых уравнений является существование у них специальных точных решений — солитонов. Солитоны наиболее интересны с точки зрения физических приложений теории. Они представляют собой локализованные в пространстве и во времени объекты, отличающиеся значительной устойчивостью и сохраняющиеся при столкновениях.
Исторически, понятие уединенной волны было введено Скоттом-Расселом более ста лет назад в только что зарождавшуюся науку - гидродина-

странстенную плотность вектора спина. Из (2.46) имеем:

дгк,0 _ аік + агггу°}Ф = -Фу°о-гі:Ф.
суік
(2.47)
При а — а2 = а, N1(8) = N2(8) = ІУ(5) из (2.47) получаем:
512’° = 0, 513’° = 0, 523,0 = а2 сЬ(2ІУ'(5))е-2а. (2.48)
Таким образом, отлична от нуля только одна компонента тензора спина 523’0, определяющая проекцию вектора спина на ось х. Хронометрически-инвариантный тензор спина имеет вид:
(В (2.50), как и в (2.45). интегрирование по у и г производится от 0 до 1). Отметим, что в (2.45) и (2.50) подынтегральные функции совпадают.
2.2. Самосогласованные решения линейных уравнений спинор-ного и скалярного полей
В этом параграфе получено самосогласованное решение уравнения линейного спинорного поля — уравнения Дирака и уравнения линейного без-массового скалярного полей. Изучено влияние изменения знака плотности энергии скалярного и спинорного полей на всойства формируемой конфигурации полей.
й123’0 = (323,оЯ23’0)1/2 = а2 сЬ.[2іГ(£)]е~а.
(2.49)
Проекция вектора спина на ось х определяется из равенства