Лавинные процессы в теории самоорганизованной критичности

• Автор: Поволоцкий, Александр Маркович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
Введение
1 Асимметричный лавинный процесс.
1.1 Формулировка модели
1.2 Основное кинетическое уравнение
1.3 Двухчастичная приводимость
1.4 Уравнение для производящей функции
1.5 Анзац Бете
1.6 Основное состояние
1.7 Явное решение уравнений Бете
1.8 Уравнения Бете в термопределе
1.9 Средняя скорость лавинного процесса
1.10 Пределы применимости решения
2 Динамика эйлеровых блужданий.
2.1 Алгебраические свойства эйлеровых блужданий
2.2 Лавинная динамика
2.3 Численное исследование лавин общего положения
2.4 Распространение эйлеровых блужданий
3 Исследование моделей самоорганизованной критичности с помощью пространственной ренормгруппы.
3.1 Модель Бака-Танга-Вейзенфельда
3.2 Динамическая пространственная ренормгруппа
3.3 Ренормализационная схема для модели БТВ
3.4 Пример расчетов для простейшего случая. Метод производящих функций
3.5 Обобщенная модель необратимых химических реакций
3.6 Вывод соотношений рекурсии на границе
3.6.1 Закрытые граничные условия
3.6.2 Открытые граничные условия
3.7 Схема ДПРГ на треугольной решётке
3.8 Вычисление критических экспонент
3.9 Полученные результаты
Заключение.

Введение
Лавинная динамика это основной сценарий релаксации нестабильных состояний в экстремальных системах, где каждый подвижный элемент находится около порога стабильности. Типичное распределение лавин, имеющее характерные степенное убывание, ведет к возникновению дисперсного транспорта частиц, вовлеченных в лавину [1]. Многие физические явления, такие как распространение фронтов [2, 3, 4], землетрясения [5], смачиваемость пористой среды [6], движение дислокаций [7], биологическая эволюция [8] и процесс распространения эпидемий [9] могут рассматриваться в терминах лавинной динамики .
Характерный пример систем с лавинной динамикой - гранулярные системы, которые непосредственно порождают прерывистые лавины, поддерживающие равновесие в системе. В 1987 г. П.Бак, Ч.Танг и К.Визен-фельд [10] предложили теорию самоорганизованной критичности (СОК) для объяснения поведения таких систем. Согласно этой теории, неравновесные гранулярные системы могут естественным образом эволюционировать к определенному критическому состоянию, в котором они теряют характерные масштабы как длины, так и времени, т.е. их корреляционный радиус становится равным бесконечности, а корреляционные функции имеют степенные асимптотики. Это критическое состояние не зависит от начального состояния системы, и, в отличие от обычных критических явлений, не требуется никакой точной подгонки параметров, чтобы достичь его. При этом лавинные процессы играют роль механизма, удерживающего систему в критическом состоянии, изменяя надлежащим образом транспортные свойства системы.
Трудность исследования систем с лавинной динамикой связана со сложным многочастичным характером лавинных процессов. Для таких систем характерно разделение временных масштабов. Тогда как в состоянии ниже порога стабильности характерные времена изменения системы

Рисунок 1.5: Фазовое пространство лавинного процесса. Сплошная линия дает зависимость критической плотности от /х. Серым цветом показана область применимости точного решения. Треугольниками отмечены значения критической плотности в открытой системе, полученные из численного моделирования на решетке размером N = 1000.
системе с последующим устремлением размера системы к бесконечности. При этом контур решений всегда оставался бы окружностью в окрестности нуля, и функция плотности корней была бы аналитична. Тем не менее, при выходе на контур конечного радиуса результат не меняется именно в силу аналитичности функции плотности корней. Так происходит пока контур не наталкивается на особенность логарифма функции ©(у/х). Поэтому, изменение функции плотности корней это эффект связанный с включением 7 уже после взятия термопредела. На контурах же малого радиуса функция плотности корней всегда аналитична и на первый взгляд нет причин для смены режима при изменении р. Более адекватный ответ на вопрос об области применимости полученного выражения средней скорости могло бы вероятно дать рассмотрение поправок конечного объёма к решению. Кроме того, численное моделирование показывает, хорошее согласие с полученной формулой (рис. 1.6), вплоть до плотностей в непосредственной близости от критического значения, где конечность системы оказывается существенной. С помощью численного моделирования, мы также исследовали значения критической плотности в системе с открытыми границами. Найденные значения критической плотности, к которой самоорганизуется система (рис. 1.5) в точно-