Анализ модельного подхода теории расширений в скалярной задаче дифракции и системах нежестких кристаллов фуллеритов

• Автор: Зубок, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 92 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ЗАДАЧА ДИФРАКЦИИ НА ТОНКОМ НЕКОМПАКТНОМ ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ
1.1. Постановка задачи
1.2. Задача А
1.3. Задачи В и С, асимптотика решения
ГЛАВА II. МОДЕЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ
11.1. Постановка задачи,описание семейства модельных операторов
11.2. Построение модельного оператора задачи дифракции
ГЛАВА III. ЛОКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ НЕЖЕСТКИХ
КРИСТАЛЛОВ ФУЛЛЕРИТОВ С60, С70
111.1. Физические системы с нежесткостью. Принципы построения перестановочно-инверсионных групп симметрии
111.2. Перестановочно-инверсионные группы симметрии
нежестких кристаллов
111.3. Физически значимые неприводимые представления группы Тс
и симметрия относительно перестановок тождественных ядер
111.4. Перестановочно-инверсионная симметрия
фуллерита Сбо в высокотемпературной фазе
III. 5. Перестановочно-инверсионная симметрия
фуллерита С70 в высокотемпературной фазе
III.6. Перестановочно-инверсионная симметрия
фуллерита С70 в промежуточной фазе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Термины: ’’модельный подход”, ’’модельная задача” встречаются в различных разделах теоретической физики. Так, например, в теории дифракции и в физике твердого тела получил широкое распространение модельный подход имеющий непосредственное отношение к методу потенциалов нулевого радиуса. Впервые потенциалы нулевого радиуса были введены Е. Ферми ([1],[2]), что позволило точно решить ряд физических задач.
Введение потенциалов нулевого радиуса сводится к заданию ’’граничного условия” на волновую функцию Ф в точке:
где г - расстояние от ’’центра потенциальной ямы” - точки, где находится потенциал нулевого радиуса, а - вещественный параметр. Активное применение и дальнейшая разработка метода начались с шестидесятых годов ([3]-[6]) и продолжаются в настоящее время [7],[8]. Так, например, в работе [9] решена задача о возмущении оператора
сосредоточенным на прямой К с функцией а(г) € Ь2 (К, (1 + г2)~1о?г). Там же было показано, чт о оператор Лапласа возмущенный сингулярным потенциалом вида (0.2) с функцией а(г) = 1 может быть задан описанием его области определения, в которую входят все те функции и из пространства Гильберта Т2(К), которые удовлетворяют ’’граничному условию”
где р - расстояние до прямой К, Я (г) - некоторая абсолютно непрерывная вещественнозначная функция. Задачи о введении потенциалов нулевого радиуса и сингулярных потенциалов вида (0.2) могут быть рассмотрены методами теории расширений симметрических операторов в пространстве Гильберта [10]. При этом ’’граничные усло-
(0.1)
Лапласа Д сингулярным потенциалом $(х ) вида
(0.2)

(0.3)
вия” (0.1),(0.3) описывают область определения самосопряженных операторов с сингулярными потенциалами. Важным этапом при рассмотрении той или иной модельной задачи является приведение модели в соответствие физическому содержанию задачи [11],[12],[13]. В случае потенциала нулевого радиуса, описывающего короткодействующее взаимодействие двух частиц при низких энергиях их относительного движения, неопределенным является параметр а, который по своему физическому содержанию определяет сечение упругого столкновения частиц [6]. В общем случае, физическая интерпретация ’’модельных параметров” следует из сравнения решений модельных задач с решениями реальных задач полученных прямыми методами. В некоторых случаях, как например в физике твердого тела, сужение множества параметров в модельных задачах может быть достигнуто использованием симметрийных соображений. Для функции Н(г) в работе [9] не дается физического толкования. Тем не менее, сама постановка задачи имеет отношение к скалярной теории дифракции на некомпактных препятствиях с осевой симметрией. К задачам скалярной теории дифракции приводят задачи о рассеянии акустической волны на ’’акустически абсолютно твердых” и ’’акустически абсолютно мягких” телах [14]. При этом, I! случае ’’акустически абсолютно твердого” тела О решение и (потенциал скорости) удовлетворяет граничному условию |= 0 для производной по внешней нормали к
границе 5 и граничному условию д |,д= 0 в случае ’’акустически абсолютно мягкого” тела [14]. Типичной для большого круга задач скалярной теории дифракции в трехмерном простанстве К3 является следующая постановка задачи (стационарный по времени подход).
Пусть в пространстве К3 имеется компактная или некомпактная поверхность 5. Отыскивается решение ("а?) к ) (рассеянное поле) удовлетворяющее во внешности поверхности 5 уравнению Гельмгольца
(0.4)
и на поверхности 5 одному из граничных условий
)?(а?’) + щ(1?) |я= 0 (задача Дирихле),

+ и0( а?)) |5=1 0 (задача Неймана),
(0.5)
(0.6)
t* <£>(£)принадлежит пространству Шварца 5(Ж), но 5(К) € Д2, -т.к. в 5(Ж) введена более сильная топология. В том числе имеем, что ДС'“(К) С £2,т(М). Множество
Cq°(R) плотно как в £2,
так и в пространстве Д2і что совместно с однозначной
разрешимостью уравнения Ли = / (V/ Є L2) влечет
££л. (Л) — -£>2,п
Т>(Л)
Имеет место замкнутость и нормальная разрешимость оператора А в пространствах £-2,т(К)- Для оператора А в пространстве Д2 область определения Т>(А) есть замыкание множества С“ (К) по счетной системе полунорм
ilia,™ 3 = f М2 Pm(№,
m = 1,2
Множество V(A) со счетным семейством |H|L А является счетно-нормированным пространством. Множество значений Т1(А) оператора А в пространстве Д2 м.б.
ПОЛуЧеИО ПОПОЛНеНИеМ Dfi2(A) ПО СЧеТНОЙ СИСТеМе ПОЛуНОрМ \А~ n|L.,m
1Н1ь2т 111 = 2’ 3
плотно определенный неограниченый оператор А который в каждом из пространств непрерывно обратим. Через \А~ 1 |І£, обозначим нормы оператора Ав соответствующих пространствах. Тогда имеем
1ко,0 к, є) HL,m Для функции vq.o (£>є) выполнено (1.88) если выполнено
ll/Ilia,* ((22m(m!)2)/M-1||L roC)
где /(О = -c0T[eik**n Л(0-
Разберем вопрос об оценке величины
(1.89)

x£De
Yj£2"‘ "o.m/foO
Предположим, что выполняется

(1.90)
(1.91)

с некоторой С < 00.