Квазиклассическое квантование системы из N частиц с помощью метода комплексного ростка

• Автор: Рууге, Артур Эннович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 110 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава 1. Литературный обзор §1. Квазиклассический предельный переход и изотропные
подмногообразия
§2. Комплексный росток в точке
§3. Комплексный росток над изотропным многообразием
§4. Метод комплексного ростка в задаче N частиц §5. Некоторые факты из теории псевдодифференциальных
операторов
§6. Задачи диссертации
Глава 2. Уравнение Вигнера
§1. Уравнение Вигнера в Ь2 §2. Уравнение Вигнера в Ь2 для системы из N тождествен
ных бозонов
§3. Гомологическое уравнение
§4. Связь между системами в вариациях
Глава 3. Классические квазичастицы
§1. Классические квазичастицы в одномерном случае
§2. Уравнения для квазичастиц в общем случае §3. Уравнения на изоэнергетической поверхности, описы
вающие квазичастицы §4. Симметрический вид уравнений для классических ква
зичастиц
Глава 4. Квазиклассические фермионы
§1. Постановка проблемы
§2. Основное антисимметрическое состояние
§3. Структура основного антисимметрического состояния §4. Обобщение для нестационарного случая и для серий
соответствующих изотропным торам §5. Вариационный принцип для квазиклассических ферми
онов
ВЫВОДЫ
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Квазиклассическое квантование, изначально возникшее как математическая реализация принципа соответствия между квантовой и классической механикой, представляет в настоящее время самостоятельную интесивно развивающуюся концепцию. С одной стороны, квазиклассическое квантование может рассматриваться как мощный метод построения формальных асимптотических решений весьма широкого класса уравнений теоретической физики - уравнений типа уравнения Шредингера (стационарного или нестационарного), гамильтонианом которых является некоторый h - псевдодифференциальный оператор, где h —► 0 - малый параметр задачи. Подобные уравнения связаны, прежде всего, с большим числом прикладных задач кватовой механики, чем и обусловлена соответствующая терминология. Малым параметром в этих случаях является отношение постоянной Планка h к характерному значению некоторой классической динамической величины, имеющей размерность действия. С другой стороны, квазиклассические методы позволяют не только строить приближенные решения, но и имеют фундаментальное значение сами по себе, поскольку позволяют лучше понять “природу” квантовых уравнений исходя из алгебраических и геометрических свойств отвечающих им классических уравнений. Под квазиклассическим квантованием в широком смысле этого термина, понимается сопоставление классическим геометрическим объектам - подмногообразиям фазового пространства - формальных асимптотических решений квантовых уравнений, а также выяснение условий, которым должны удовлетворять эти геометрические объекты и гамильтонов фазовый поток классической динамической системы для того, чтобы указанные решения можно было построить.
Одним из возможных подходов к построению квазиклассических (h —» 0)
Typeset by Дд/iS-TeX
асимптотик является метод комплексного ростка. Его важным свойством является тот факт, что он допускает бесконечномерное обобщение и может быть применен к исследованию системы из N тождественных частиц, описываемой уравнением
где ж, £ Є К”, р = —іКУх, 7} = /і > 0, Т(р,х) и У(р,х;т},£) - доста-
точно гладкие действительные функции, проквантованные по Вейлю, ір+ (ж) и “ф~(х) - операторы рождения и уничтожения, є —» 0 - малый параметр. Примерами уравнения (0.1) служат N - частичные уравнения Вигнера и Лиувилля для квадратного корня из плотности, а также уравнение Шредингера для системы тождественных бозонов. В Шредингеровском представлении, в котором вакуумному вектору пространства Фока соответствует функционал
уравнение (0.1) принимает вид уравнения Шредингера с бесконечным числом степеней свободы и к нему применим метод комплексного ростка, рассматриваемый по параметру е. Асимптотические решения выражаются с помощью решений классических уравнений - системы уравнений Гамильтона и соответствующей ей системы уравнений в вариациях. В рамках такого подхода удается, в частности, получить геометрическую интерпретацию результатов Боголюбова по теории сверхтекучести на языке Гамильтонова формализма классической механики, а также получить новые, математически строгие, результаты из этой области.
І-= ЯФ(і), Ф(і) е г,(Г2(КП)), (0.1)
где Г5(А2(КГ1)) - симметричное пространство Фока, оператор Н (гамильтониан) имеет вид
(0.2)
(0.3)
а операторы рождения - уничтожения имеют вид
(0.4)

для символа квадратного корня т.е. уравнение (2.28) с дополнительным условием на им-
им{х,р) = и*м(х,р). (2.34)
Это приводит к дополнительному условию на рассматриваемые решения системы уравнений Гамильтона. Указанную систему Гамильтона, можно записать в виде одного уравнения для комплексной функции <р(х,р):
.д<р(х,р) _ 6Н дЬ 6р*[х,р)'
где для краткости у <р(х,р) опущен аргумент /,, фукнционал Н имеет вид Н(<р*,<р)
+ ¥ /АхАРс1&',1(Р*(х>Р)(Р*(£’г1)(у(х1Р>п),(Р(£,,п)<р(х,Р))- (2-36)
Условие на 9о(х,р), индуцированное (2.34), имеет вид
<р(х,р) = р*{х,р). (2.37)
В результате, уравнение (2.35) с помощью квадрирования сводится с к квантовому аналогу уравнения Власова - уравнению Вигнера-Хартри:
~ + (Т{х,р) + У сУ {х,р £, г])р{£,г)), р(х,р)} = 0, (2.38)

р{х,р) = <р*(х,р) * <р{х,р). (2.39)
В общем, рассматриваемом в данной главе, случае, условие действительности (2.34) функции им отсутствует, и, следовательно, нет условия (2.37). Система Гамильтона, как показывается ниже, принимает после соответствующего преобразования, треугольный вид. Одним из ее уравнений оказывается уравнение Вигнера-Хартри (2.38), а вторым - некоторое уравнение, определяющее фазу функии ср(х ,р).
Уравнение (2.35) может быть записано в виде
д<РрЛ> + (Т(х,р),р{х,р)} + J (1£с1г}р(х,р)(У(х,р-,£,г))<р((;,г])<р(х,р)) = 0.
(2.40)
J йхйрр*{х,р)(Т(х,р),р{х,р))