Интегрирование уравнения Дирака во внешнем гравитационном поле, допускающем некоммутативную группу движений

• Автор: Клишевич, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 142 с.

Введение ,,,
Глава 1. Уравнение Дирака в римановом пространстве
1.1. Основные понятия теория симметрии
1.2. Уравнение Дирака в римановом пространстве
1.3. Метода решения уравнении Дирака —
1.4. Алгоритм решения поставленной задачи
Глава 2. Спияорвые поля на римановом многообразии
2.1. .Векторное поле Яно
2.2. Тензорное поле Яио-Кияяжнга
2.3. Спшориые симметрия в плоском пространстве
2.4. Спинориые симметрии в пространстве де Ситтера
Гляяа 3. Алгебра симметрии уравнения Дирака в римановом пространстве с группой движений
3.1, Кнляинговы симметрии Четырехмернаж группа движений
3.2, Стпюрине симметрии. Четырехмерная груш» движений
3.3, Киллишойн симметрии, Пятимерная группа движений
3.4, Сшшоркые симметрии. Пхтимериая трупна движений
3.5, О существовании второго оператора Дирака в римановом пространстве
3.6, Вывода ио третьей главе
Глава 4. Интегрирование уравнения Дирака в римановом пространстве с группой движений
4.1. Интегрирование уравнения Дирака в римановом пространстве с четырехмерной группой движений
-з~
4.2. Интегрирование уравнения Дирака в римановом пространстве с пати-мерной группой движений
4.3. Некоммутативное интегрирование уравнения Клейна-Фока
4.4. Решение уравнений Эйнштейна и типы Петрова
4.5. Одна точно решаемая модель
4.6. Выводы по четвертой главе
Заключение
Приложение А. Матрицы Дирака
Приложение В. Компоненты поля Яно-Кияаинга
Приложение В. Тетрада
Приложение Г. Разложения матрид вида ехр(-#0)т' ехр(40)
Приложение Д. Вычисление операторов Казимира алгебры симметрии
Библиография

В ведение
Задача получения точных решений уравнений математической физики была, невидимому, одной из центральных задач на всем историческом пути развития науки. Точные решения уравнений многих физических моделей служат образцом и отправной точкой для других более реалистических концепций, а также для сравнения результатов с численными расчетами. Так, в случае квантовой электродинамики знание точных решений уравнений Клейна-Фока и Дираха с классическим внешним полем позволяет эффективно исследовать процессы, происходящие в сильных электромагнитных полях, когда не работают стандартные методы теории возмущений. Такие ситуации возникают при изучении излучения мощных лазеров, в физике пульсаров и черных дыр, а также в космология при исследовании ранних стадий эволюции Вселенной [80] ,[87],[224].
Вопросы получения точного решения физического уравнения напрямую связаны с понятием интегрируемости уравнения. Настоящая диссертация посвящена вопросам интегрирования одного из основных уравнений теоретической физики - уравнения Дирака в римановом пространстве.
Изучение уравнения Дирака в искривленном пространстве следует, непосредственно, после его изучения в пространстве плоском. Введение в рассмотрение гравитационного поля существенно меняет поведение частицы и приводит к появлению новых эффектов, которые не существуют в плоском пространстве. Интерес к кривым пространствам появился сравнительно недавно, интенсивные исследования в области квантовой теории поля в искривленном пространстве начались после открытия Хокингом процесса теплового излучения черных дыр [66],[221],[222]. Параллельно вот уже несколько десятков лет не прекращается работа над созданием единой теории физических взаимодействий и предпринимаются попытки включить в Общую схему гравитацию. Так проведенный в работе [210] учет гравитационного взаимодействия приводит к устранению расходимостей КЭД в однопетлевом приближении и снятию известных трудностей с "нуль-зарядом” и аномальными особенностями функций Грина ("духами”). Однако последовательный учет гравитации приводит к значительным математическим трудностям. Физические уравнения становятся, как правило, неинтегрируемыми и вопросы, связанные с изучением решений этих уравнений, остаются неисследованными.
Традиционно точные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. Этот метод развивался длительное время и к настоящему моменту представляет собой более или менее законченную теорию. Так на се-

Применяя необходимые условия (2.4) и (2.46), «оказываем, что в общем случае данное пространство не допускает сиянорных попей. Эти поля существуют яри некоторых ограничениях на метрику. Если выполнено условие віз = са», с — const, пространство
(3.2) допускает векторное поле Яно следующего вида /* = Сиинорный оператор
симметрия через вектор Яно имеет вид:
Данный оператор коммутирует со всеми киллинговыми симметриями [J, ДГі] = 0.
Что касается тензорного пол* Яно-Киллинга, то здесь ситуация сложнее. Существование этого поля можно утверждать только при некоторых частных значениях функций ai з и 022. 1) если эти функции имеют вид 013 = «я4) «Ïа *= -е*«2, пространство
(3.2) допускает тензорное поле Яно-Киллинга вида: fi3 в —сж4, /24 а* с, /34 = etc1, С - const-, 2) если ЭТИ функции имеют »ИД 013 = <Х"Ух&> Оаз = -4(*2/{9vÇ*fet), пространство (3.2) допускает тензорное воле Яно-Киллинга вида: Да = от3 + с, fis « (9а^*Є4Х4 -f 2a^x*ax1æ3 — 3oé«4 4- 2y/âcx1)/(2-^x*a), flt » — З(с»3 + с)і/х*ел,/{2а), fis » ~(oa^-d), /24 e b/Vx*, /34 as x1(3ay^eiV2ab~3-y^eid)/(2ÿx*0!). Здесь a,a,b,c,d произвольные константы (a Ф 0), т.е. допускается даже четыре независимых тензора Яно-Киллинга. При вычислениях мы предполагали полиномиальный вид функций щ.
Случай 1). Сиинорный оператор симметрии через тензор Яно-Ккллиига имеет вид:
Данный сшпюрный оператор коммутирует со всеми киллинговыми симметриями [£, X;] = О и обладает свойством I2 « Л2 Это дает нам возможность интерпретировать оператор Ь как второй оператор Дирака. Более подробно мы осветим эти вопросы в заключительном параграфе данной главы.
Случай 2). Придавая произвольным константам а, Ь, с, і последовательно значения 1 и О (6= 1, а = с = <і = 0и т.д.), построим сгошарные операторы симметрии через тензор Яно-Киллинга (случай а за 1 мы не рассматриваем, т.к. тензор Киляинга, построенный по тензору Яно-Киллянга, не принадлежит полному набору):
j « 2*1(9» + rw - vpd+ + ~(Г - Г)д* + kr + Г)
а Xі с
(3.115)