Гамильтоновская динамика вмороженных полей в идеальной жидкости

• Автор: Рубан, Виктор Петрович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 80 с.

Содержание
Введение
1 Динамика вмороженных вихрей в гидродинамических системах
1.1 Канонический формализм для жидкости со свободной поверхностью
1.2 Интегралы движения
1.3 Лагранжиан с учетом топологических интегралов движения
1.4 Несжимаемая жидкость со свободной поверхностью
1.5 Представление вихревых линий
1.6 Плоские течения несжимаемой жидкости со свободной поверхностью
1.7 Интегрируемая гидродинамика
1.8 Продольные течения внутри вихревой нити
2 Черенковское взаимодействие вихрей со свободной поверхностью
2.1 Динамические уравнения в конформных переменных
2.2 Стационарное движение
2.3 Связанные состояния поверхностных волн
2.4 Всплывание точечного вихря
2.5 Трехмерная динамика вихревой нити
3 Движение магнитных линий в МГД
3.1 Вмороженные поля в МГД
3.2 Представление Вебера для МГД
3.3 Системы МГД типа в несжимаемом пределе
3.4 Двумерная несжимаемая МГД
Заключение
Приложения
А Варьирование лагранжиана для конформных переменных
Б Доказательство формул (3.38) и (3.39)
В Вывод уравнений (3.43) и (3.44)
Литература
Публикации

Введение
Гидродинамика в настоящее время представляет собой обширную и важную часть макроскопической физики, перед которой стоят как фундаментальные теоретические проблемы, так и важные прикладные задачи. Классическими гидродинамическими уравнениями адекватно описывается широкий круг явлений - звуковые и поверхностные волны, конвекция, турбулентность, крупномасштабные течения в атмосфере и океане, ударные волны, и так далее [1] ,[2]. Более сложные модели, учитывающие дополнительные степени свободы, позволяют рассматривать макроскопическую динамику замагниченной плазмы [3], [4], сверхтекучей жидкости, процессы в многокомпонентных смесях с учетом химических реакций, а также многое другое.
При решении ряда гидродинамических задач на первом этапе исследования допустимо пренебречь всеми диссипативными процессами и использовать приближение идеальной жидкости. При такой аппроксимации динамическая система, описывающая течение, является консервативной. Удобным инструментом для работы с подобными системами является канонический формализм, который дает возможность с единой точки зрения классифицировать все нелинейные процессы. Применению гамильтоновского метода в гидродинамике посвящено большое количество работ (см. например, обзор [5] и список литературы там). Данное направление исследований развивается еще с прошлого века, когда Клебш ввел канонические переменные, названные впоследствии его именем, для описания течений идеальной несжимаемой жидкости (соответствующую ссылку можно найти в книге [6]).
При поддержке хорошо разработанного математического аппарата гамиль-тоновской механики (основные идеи и методы которого изложены, например, в [5],[7],[8]) в теории гидродинамических систем за последние десятилетия получено большое количество важных результатов. Сюда относятся исследования задач об устойчивости стационарных течений, нахождение канонических переменных в разнообразных конкретных моделях, разработка методов теории возмущений в гамильтоновых системах с континуальным числом степеней свободы, применение теории солитонов, описание различных процессов в плазме, в неоднородной жидкости, на свободной поверхности, создание теории волновой турбулентности и многое другое [9]-[55].
Наряду с этим имеется ряд актуальных проблем, для которых пока не получено удовлетворительного и полного решения. В частности, недостаточно ис-

слсдованы задачи о взаимодействии вихрей и поверхностных волн, проблема образования особенностей в решениях уравнения Эйлера за конечное время из гладких начальных состояний, динамика вихревых структур со сложной топологией и так далее. В целом ряде работ последних лет отмечено, что трудности с пониманием статистических свойств турбулентности также в большой мере связаны с недостатком информации о решениях консервативной задачи.
Одним из важнейших вопросов, которые в рамках канонического формализма допускают рассмотрение с единой точки зрения, является вопрос об интегралах движения динамической системы. Согласно теореме Нётер, законы сохранения тесно связаны с симметрией лагранжиана по отношению к той или иной однопараметрической группе преобразований динамических переменных. Хорошо известно, что законы сохранения энергии, импульса и углового момента замкнутых систем следуют из фундаментальных свойств времени и пространства - однородности времени, а также однородности и изотропности пространства. Благодаря этим свойствам сдвиги и повороты системы не изменяют ее лагранжиан.
Характерное свойство систем гидродинамического типа заключается в том, что у них, помимо указанных общих законов сохранения, имеется бесконечное число специфических интегралов движения - например, при изэнтропических течениях сохраняется циркуляция обобщенного импульса вдоль произвольного жидкого контура. Данное утверждение в обычной нерелятивистской гидродинамике называется теоремой Кельвина о сохранении циркуляции скорости [1].
С точки зрения лагранжева формализма сохранение указанных величин связано с особой симметрией уравнений идеальной гидродинамики [38]-[42]. При лагранжевом описании каждая жидкая частица маркируется трехмерным вектором а. Динамика жидкости определяется указанием положения х(а, Ь) каждой жидкой частицы в произвольный момент времени Уравнения движения для отображения г = х(а, £) следуют из вариационного принципа
Лагранжиан С баротропной жидкости допускает бесконечнопараметрическую группу симметрий - он принимает одно и то-же значение на всех отображениях х(а, i), для которых совпадают эйлеровы характеристики течения - плотность p(r,i) = det|jc*a(r, t)/9r|| и скорость v(г, t) = x(a(r, t), t). Такие отображения отличаются одно от другого только некоторой перестановкой лагранжевых маркеров а, с чем и связано английское название группы симметрий - relabeling group. Все законы сохранения завихренности являются следствием данной симметрии лагранжиана по отношению к переобозначению маркеров (по теореме Нётер). Наиболее общая формулировка этих законов постулирует наличие локального векторного лагранжева инварианта - инварианта Коши [б].
На уровне эйлерова описания течений о наличии инварианта Коши свидетельствует уравнение переноса завихренности О. определяемой как
fi(r.i) = rotp(rH), p(r,t) = 6C/6x(a.(r,t)).

Гамильтоновская формулировка (2.1) уравнений движения для потенциальных течений жидкости со свободной поверхностью была дана в конце шестидесятых годов В.Е.Захаровым [11, 12]. Впоследствии с помощью гамильтонов-ского подхода удалось изучить целый круг явлений: модуляционную неустойчивость поверхностных волн [11], нелинейную стадию развития неустойчивости Кельвина-Гельмгольца [13], формирование гексагонального рельефа на поверхности жидких диэлектриков в присутствии внешнего электрического поля [14], процесс образования особенностей на поверхности идеальных жидкостей [15,16]. Важное значение в исследованиях турбулентности поверхностных волн сыграли работы [12, 17], в которых впервые была построена последовательная теория колмогоровских спектров - степенных распределений потокового типа.
В настоящее время теория турбулентности поверхностных волн - одна из наиболее продвинутых теорий (см., например, обзор [18]). Несмотря на это, в этой теории остается ряд нерешенных проблем, среди которых, пожалуй, центральной является задача о взаимодействии непотенциальных - вихревых течений со свободной поверхностью.
По-видимому, впервые теоретически этот вопрос рассматривался М.В.Келдышем и М.А.Лаврентьевым [67], этому же посвящен параграф в книге [2]. Позже к этому вопросу обращался Е.А.Новиков [68]. Во всех этих работах вычислялись потери энергии стационарно движущимся точечным двумерным вихрем за счет возбуждения поверхностных волн. Этот процесс в [68] рассматривался в линейном приближении по амплитуде поверхностных волн в предположении, что вихрь находится достаточно глубоко от свободной поверхности. В этом случае в нулевом приближении вихрь вместе со своим отражением образует дипольную пару, двигающуюся с постоянной скоростью вдоль поверхности. Создаваемое при этом вихрем течение неоднородно вдоль поверхности. В системе координат, где вихрь покоится, течение на больших расстояниях от вихря однородно. При приближении к вихрю скорость течения на поверхности в некоторой точке изменяет свой знак, так что над вихрем скорость течения противоположна по знаку скорости на бесконечности и превышает ее значение в три раза. Отсюда становится ясным, что возбуждаемая за счет черенковского процесса волна испытывает неоднородный эффект Допплера. Следует напомнить, что черенков-ское излучение имеет место, если скорость распространения вихря превышает минимальную фазовую скорость поверхностных волн. В том случае, когда длина черснковской волны А много меньше расстояния от вихря до поверхности -его глубины Л,, черенковское излучение, как показано в данной работе, может быть описано квазиклассически. Как известно, поверхностные волны локализованы вблизи поверхности в слое порядка длины волны, на больших расстояниях скорость жидкости экспоненциально затухает. Поэтому при А -С Л. обратное влияние излучения на вихрь будет экспоненциально малым, что позволяет эффективно использовать теорию возмущений.
Данная работа посвящена изучению нелинейного взаимодействия вихрей со свободной поверхностью. Основное внимание уделяется рассмотрению черен-