L-матрицы и их применения в небесной механике

• Автор: Полещиков, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.03.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Сыктывкар
• Количество страниц: 333 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Г-матрицы второго порядка
§ 1.1. Уравнения движения плоской задачи двух тел в комплексных координатах. Первые интегралы
§ 1.2. Преобразование уравнения движения на плоскости
§ 1.3. Регуляризация уравнения движения задачи двух тел на
плоскости
§ 1.4. Матричная форма регуляризующего преобразования
§ 1.5. Регуляризация с применением произвольной обобщенной матрицы Леви-Чивита
§ 1.6. Классификация Г-матриц второго порядка
Глава 2. Ь-матрицы четвертого порядка
§ 2.1. Замечание о размерности пространства
§ 2.2. К5-матрица и регуляризация уравнения движения
§ 2.3. Группа базисных единиц в МфИ)
§ 2.4. Представления Г-матриц четвертого порядка
§ 2.5. Ранг Г-преобразования
§ 2.6. Исследование второго представления Г-матрицы
§ 2.7. Структура Г-матриц и их параметризация
§ 2.8. Подобие Г-матриц
§ 2.9. Классификация Г-матриц
§ 2.10. Собственные и несобственные Г-матрицы
§ 2.11. Обращение произвольного Г-преобразования третьего
ранга
§ 2.12. Кватернионные матрицы и Г-матрицы
§ 2.13. Необходимые условия регуляризующего преобразования
Глава 3. Регуляризация основных уравнений движения
§ 3.1. Регуляризация канонических уравнений возмущенной
задачи двух тел

§ 3.2. Регуляризация Аарсета-Заре уравнений движения задачи трех тел
§ 3.3. Глобальная регуляризация Хегги канонических уравнений задачи трех тел
§ 3.4. Глобальная регуляризация в задаче N тел
§ 3.5. Возмущенная ограниченная задача N тел
§ 3.6. Доказательство теоремы о билинейном соотношении в
основных случаях
Глава 4. Г-матрицы восьмого порядка
§ 4.1. Представления Г-матриц восьмого порядка
§ 4.2. Совместность определяющих соотношений
§ 4.3. Образующие Г-матрицы и их свойства
§ 4.4. Базис в М$(R), построенный с помощью образующих . 174 § 4.5. Второе доказательство теоремы о ранге Г-преобразования восьмого порядка
§4.6. Групповые свойства элементов множества Г
§ 4.7. Типы и подобие Г-матриц восьмого порядка
§ 4.8. Графическое представление базиса £к, порожденного Г-
матрицей
§ 4.9. Построение Г-матрицы восьмого порядка
§ 4.10. Тождества для Г-матриц восьмого порядка
Глава 5. Г-матрицы восьмого порядка и некоторые динамические системы
§ 5.1. Регуляризация уравнения движения пятимерной кепле-
ровой задачи
§ 5.2. Регулярные элементы
§ 5.3. Регуляризация канонических уравнений
§ 5.4. Параметрический изоморфизм лиевых алгебр осцилляторов и кеплеровых задач размерностей 2, 3
Глава 6. Применение Г-матриц при численном интегрировании
§ 6.1. Численное интегрирование на плоскости и задача на ми-
нимакс
§ 6.2. Нахождение минимакса
§ 6.3. Примеры численного интегрирования с коррекцией на
плоскости
§ 6.4. Пространственный случай. Интегрирование с различными .-матрицами четвертого порядка
§ 6.5. Задача об оптимальном положении пары векторов в Л4 . 256 § 6.6. Ортогональное преобразование, приводящее к оптимальному положению
§ 6.7. Численные результаты
Заключение
Приложение А
Приложение Б. Программы
Литература

Пусть теперь S - ортогональная матрица. Проверим свойство (1.22) для i?(u):
2T(u)2(u) = (£(Su)S)T£(Su)S = ST£T(Su)£{Su)S
= |5u|25T5 - |u|2£.
Таким образом, £(u) является T-матрицей. Теорема доказана.
Определение. Матрица £(и) L-подобна матрице (и), если существует ортогональная матрица 5, для которой выполнено соотношение (1.37). В этом случае S называется матрицей перехода от i?(u) к (и).
Замечание. Если S — матрица перехода от (и) к #?(и) , то 5Т
матрица обратного перехода от £Ы) к (и).
В самом деле, пусть (u) = £(Su)S. Применим к Т’(и) преобразование T-подобия с матрицей ST:
£(STu)ST = £(SSTu)SST = £ (u).
Свойства матрицы (1.20).
1. Матрицы L(v),L(и) перестановочны:
T(v)T(u) — L(u)T(v), Vu, v e R2. (1.38)
Имеем L(v)L(u)
' VUi - V2U2 -ViU2 - V2UX V2Ui + VU2 -V2U2 + ViUi
Щ ) = b(u)L(v).
V2 V J
2. Справедливы равенства
L(L(y)u) = L(/x)T(u), (1.39)
L(JL(p) u) = JL(fj,)L(u)J.
Действительно, L(L(fi)u) = Ьцхщ — p2u2, ц2щ + цхu2)T)
V ~V2 ) 1 f щ -U2
V2 vx J ' V u2 U
= 1 f Щ -U2
U2 Ui
UlUi - Ц2и2 ~PlU2
ц2их + Цх u2 -ц2и2 + ЦхЩ
L(n)L{ u).