Подмодели динамики политропного газа

• Автор: Головин, Сергей Валерьевич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 116 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Подмодели политропного газа
§1. Оптимальная система подалгебр
§2. Пример инвариантного решения
2.1. Случай а2 + /?2 ф
2.2. Случай а2 + /З2
2.3. Групповая классификация инвариантной подмодели
2.4. Автомодельное решение
§3. Теорема о редукции
Глава 2. Динамика двумерных движений газа,
ОБЛАДАЮЩИХ СПЕЦИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
§4. Предварительные сведения
§5. Оптимальная система подалгебр
§6. Инвариантные подмодели ранга два
6.1. Подмодели П(1.1) и П(1.2)
6.2. Подмодель П(1.3)
§7. Инвариантные подмодели ранга один
7.1. Подмодель П(2.1)
7.2. Подмодели П(2.2) и П(2.3)
7.3. Подмодель П(2.5)
7.4. Подмодель П(2.6)
7.5. Подмодель П(2.8)
7.6. Подмодель П(2.9)
§8. Простые решения
8.1. Характеристики на простых решениях
§9. Регулярные частично инвариантные решения
9.1. Подмодель П(3.4)
9.2. Подмодель П(3.10)
Заключение
Приложение
Приложение
Литература

Введение
Свойства симметрии математической модели отражают факт независимости законов природы от систем отсчета, в которых наблюдаются и измеряются основные величины и выражаются в инвариантности модели относительно некоторых преобразований пространства значений этих величин. Такие преобразования образуют группу. Следуя С. Ли говорят, что математическая модель допускает данную группу преобразований.'
Выдвинутая академиком Л.В. Овсянниковым научно-исследовательская программа ПОДМОДЕЛИ [1] содержит концепцию систематического использования свойств симметрии в механике сплошных сред. Эта программа дает общий теоретико-групповой подход к математическим моделям с целью максимального использования заложенных в них свойств симметрии путем формирования и упорядочения банка данных точных решений (подмоделей) математической модели. Для уравнений газовой динамики (УГД) программа ПОДМОДЕЛИ успешно реализуется в лаборатории дифференциальных уравнений Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.
Точные решения играют важную роль при исследовании различных задач газовой динамики. Они применяются для анализа конкретных начально-краевых задач, выявления новых эффектов, описываемых моделью, исследования качественных свойств системы, тестирования численных методов. В настоящее время в газовой динамика накоплен достаточно большой опыт получения и использования точных решений. Классическими примерами могут служить простые волны Рима-на в одномерных движениях газа или двумерные течения Прандтля-Майера. На основе автомодельного решения Л.И. Седовым [2] получено решение задачи о точечном взрыве в газе. Различные обобщения этого решения содержатся монографии [3]. Большой набор точных решений можно найти в монографиях [4, 5]. Обширный класс решений, так называемые кратные волны, исследован в [6] на основе метода дифференциальных связей. Отметим, что большинство полученных в

этих работах решений имеют групповую природу [7].
В рамках программы ПОДМОДЕЛИ точные решения УГД строятся с помощью подгрупп допускаемых уравнениями расширений группы Галилея. Очевидно, что каждая подгруппа допускаемой группы также допускается исходной моделью. В то же время она имеет инварианты, конечные и (или) дифференциальные. Установление дополнительных соотношений между инвариантами подгруппы выделяет из множества решений модели определенный класс точных решений. Такие решения выражаются через новые искомые функции (инварианты), удовлетворяющие некоторой системе уравнений, более простой по сравнению с исходной. Эта система уравнений называется подмоделью исходной модели. Большинство известных точных подмоделей в виде систем уравнений пониженной размерности, таких как одномерные, двумерные, плоскопараллельные, осесимметричные, винтовые, стационарные, конические, автомодельные, дают примеры инвариантных решений. Ясно, что этот перечень можно пополнить.
Существенно различаются два типа подмоделей: инвариантные (ИП) и частично инвариантные (ЧИП). Для первых все искомые функции выражаются через инварианты, поэтому система уравнений подмодели является определенной. Напротив, в частично инвариантных подмоделях только часть искомых функций имеет инвариантное представление. На оставшиеся «лишние» функции при построении подмодели не накладывается никаких дополнительных ограничений. Поэтому уравнения ЧИП содержат переопределенную подсистему для лишних функций. Приведение этой подсистемы в инволюцию зачастую является очень непростой задачей, что и определяет относительную сложность получения и исследования ЧИП. Иногда в процессе приведения переопределенной подсистемы в инволюцию лишние функции получают инвариантное представление. Это означает, что данная подмодель совпадает с ИП, построенной на подгруппе меньшей размерности. В этом случае говорят, что ЧИП редуцировалась к ИП. Установление редукции позволяет избежать большого количества фактически ненуж-

ственных констант лагранжеву переменную £ можно выбрать в виде
Подставляя найденную функцию £ и представление решения (2.31) в интеграл энтропии 5 = 5(£) находим, что функция £(£) является степенной. Отсюда получаем первый интеграл системы (2.32):
Введем функцию Z(t) = рр 1{12 + I)1 7. С ней оставшиеся уравнения системы (2.32) можно записать таким образом:
§3. Теорема о редукции
В алгебре Ты выделяется оператор Хи, соответствующий преобразованию равномерного растяжения плотности и давления. Он порождает центр в алгебре Тіз, в силу чего способствует сильному «разрастанию» числа представителей в оптимальной системе ©13. Инвариантом для него является скорость звука с2 = 'ур/р, в то время, как плотность или давление — не инвариантные функции. В силу этого, подалгебры, содержащие оператор Хц в качестве одного из базисных, не отвечают необходимым условиям существования инвариантного решения. По ним можно строить регулярные ЧИП дефекта <5 = 1 (т.е. с одной лишней функцией — давлением или плотностью). Их массив достаточно велик. Просмотр таблицы, содержащей оптимальную систему вію показывает, что априори возможно существование около 200 таких подмоделей. Ниже мы покажем, что все эти подмодели редуцируются к инвариантным. В доказательстве существенно используется структура порождающей алгебры Ли. При этом мы будем опираться на классификацию алгебр Ли малой размерности, приведенную в [10].
Для дальнейших исследований будет удобно привести оператор Хи к оператору переноса. Это делается посредством введения функций
§к-х = а(р(і2 + 1))*-Ч*~2), « = сопбі
и+ и2 + кг (і2 +1)1"7 = 0, £' + (! + у)аг = о.