Математические основы метода линий уровня с приложениями к задачам механики жидкости и газа

• Автор: Рылов, Анатолий Игоревич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 146 с. : ил

Оглавление
1. Введение
Первая часть. Математические основы метода линий уровня Глава 1. Монотонность решений квазилинейных систем
2. Монотонность решений однородных квазилинейных
эллиптических систем
3. Преобразование неоднородных и однородных
систем в однородные системы
4. Свойства монотонности решений уравнений двумерных течений жидкости и газа
5. Построение однородных систем уравнений газовой динамики для компонент вектора ускорения Глава 2. Геометрия линий уровня и качественные свойства двумерных до и сверхзвуковых течений
6. Метод линий уровня для сверхзвуковых и смешанных потенциальных течений Иллюстрации к разделу 6.
7. Геометрические свойства линий уровня плоских вихревых течений газа
8. Геометрические свойства линий уровня осесимметричных потенциальных течений газа
9. Геометрические свойства линий уровня плоских
потенциальных течений газа, зависимые переменные которых являются функциями компонент вектора ускорения
Вторая часть. Исследование течений жидкости и газа с помощью метода линий уровня Глава 3. Асимптотики, особенности течения и структура линий уровня в плоских и осесимметричных дозвуковых течениях
10. Предварительная постановка задачи построения асимптотик для плоских течений
11. Построение асимптотик для тел, обтекаемых с созданием подъемной силы

Иллюстрации к разделу
12. Асимптотики и структура линий уровня
при обтекании симметричных тел
Иллюстрации к разделу
13. Критерий подобия асимптотик и структура линий
уровня при обтекании осесимметричных тел
14. Асимптотики и некоторые особенности течения для полубесконечных тел и каналов
с цилиндрической образующей
Иллюстрации к разделу
15. Асимптотики для замкнутых тел вращения
с одновершинной образующей
Иллюстрации к разделу
16. Использование асимптотик для анализа возможных граничных условий при численном моделировании течений 107 Иллюстрации к разделу 16 111 Глава 4. Дозвуковые вихревые течения
в локальных областях между
обтекаемым телом и ударной волной
17. О возможных режимах обтекания заостренных тел конечной толщины при произвольных сверхзвуковых скоростях набегающего потока
Иллюстрации к разделу
18. Некоторые свойства дозвукового течения за ударной волной, возникающей при сверхзвуковом симметричном
и несимметричном обтекании тел конечной толщины
Иллюстрации к разделу
19. Обтекание конечного клина с изломом образующей
Иллюстрации к разделу
Список литературы

1. В ведение
Математические основы метода линий уровня для двумерных течений базируются на использовании монотонного изменения одной из рассматриваемых функций вдоль линии уровня другой функции. Первой работой данного направления является статья А. А. Никольского и Г. И. Таганова [21], в которой для дозвуковых плоских потенциальных течений газа было установлено свойство монотонности модуля вектора скорости д и угла наклона вектора скорости в, состоящее в монотонном изменении каждой из этих функций при движении вдоль линии уровня другой функции. Й в этой же работе данное свойство было эффективно использовано для доказательства несуществования безударных локальных сверхзвуковых зон, примыкающих к твердой стенке при наличии на. ее сверхзвуковом участке сколь угодно короткого прямолинейного отрезка, а также ряда других интересных утверждений. После этого указанные результаты прочно вошли в учебники по газовой динамике как теоремы А. А. Никольского и Г. И. Таганова.
Но здесь уместно отметить одно досадное недоразумение. В известном руководстве [10] на стр. 170 ошибочно утверждается, что при движении вдоль звуковой линии монотонно меняется угол между вектором скорости и звуковой линией. Если исправить доказательство, приведенное на этой же странице, то рассматриваемое утверждение перейдет в теорему А. А. Никольского и Г. И. Таганова о монотонном изменении угла наклона вектора скорости. Это ошибочное утверждение было включено в [10] в издание 1948 г. и во все последующие издания.
В 1949 г. А. А. Никольский [22] установил свойство монотонности функций р (давление) и в для вихревых дозвуковых течений и с его помощью показал, что при сверхзвуковом обтекании заостренного тела потоком с числом Маха < 1,7 может реализоваться лишь присоединенная ударная волна слабого семейства. При этом естественно предполагалось, что угол в в каждой точке стенки не превосходит предельный угол ударной поляры. К сожалению, этот важный результат в открытой печати был опубликован лишь в 1981 г.
Работы [21,22] важны еще и тем, что в них естественным образом были заложены основы направления, которое может быть названо ”Ис-

где х и ° ~ утолы, составляемые касательными к линиям V — const и U = const с вектором скорости.
Следует подчеркнуть,что ”угадать” преобразование (5.5), переводя- j щее неоднородную систему (5.2) в однородную (5.8), исходя из каких-то иных соображений, не связанных с использованием частных решений уравнения Чаплыгина, достаточно трудно.
Напомним, что произвольное невырожденное преобразование
v+ = f(V, U), U+ = y(V, U), fvgv - fugv / D
переводит однородную систему (5.8) в другую однородную систему. В частности, для несжимаемой жидкости, когда к = 1, в качестве V+ и U+ могут быть взяты г] и jj. определенные соотношениями (5.6), что, впрочем, сразу было видно из (5.2). Очевидно, что линии уровня функций V+ и U+ обладают теми же свойствами, что и отмеченные выше линии уровня функций V и U.
Заметим, что в случае несжимаемой жидкости исходная (5.1), промежуточная (5.2) и окончательная (5.8) системы являются системами Коши-Римана. Более того, многократное дифференцирование по <р системы (5.2) также приводит к новым системам Коши-Римана. Этот факт указывает на неограниченные возможности размножения частных решений для уравнений несжимаемой жидкости.
5.2. Укажем на некоторые приложения к дозвуковым течениям. При М < 1 система (5.8) является эллиптической. Из [37] и из приведенных выше результатов следует, что в дозвуковой области решение системы (5.8) обладает свойством монотонности, согласно которому функция V монотонна вдоль линии уровня функции U и, соответственно, наоборот. Здесь и далее под линией уровня понимается линия U — const, являющаяся границей выбранной области повышенного или пониженного, относительно линии уровня, значения U. В этом случае при прохождении возможной изолированной точки ветвления, в которой градиент вектора ускорения обращается в нуль, для продолжения линии уровня выбирается ветвь, примыкающая к указанной области. Сказанное относится и к линии уровня функции V. Как следствие, для дозвуковых течений справедливы утверждения:
а) Исключены замкнутые линии уровня функций V и U, при уело-