Развитие метода однородных решений для призматических и естественно закрученных стержней

• Автор: Друзь, Анна Николаевна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 109 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. Основы метода однородных решений для упругого цилиндра
§ 1. Операторная форма записи уравнений теории упругости
§2. Однородные решения и их свойства
§3. Тензор Грина для бесконечного цилиндра
Глава II. Статические задачи для упругого цилиндра
§4. Построение системы элементарных решений задач
Сен-Венана
§5. О главном векторе и главном моменте напряжений,
соответствующих ненулевой части спектра
§6. Сведение краевых задач к бесконечным системам
алгебраических уравнений
§ 7. Тензор Грина для цилиндра конечной длины.
Асимптотический анализ решения
Глава III. Задача гармонических колебаний для упругого цилиндра
§ 8. Построение дисперсионных соотношений и системы элементарных решений Сен-Венана в случае низкочастотных гармонических колебаний
§ 9. Вывод уточненных частотных уравнений
Глава IV. К теории естественно закрученных стержней
; 10. Основные геометрические соотношения
§11. Основные соотношения теории упругости для естественно
закрученного стержня и постановка краевых задач
§ 12. Однородные элементарные решения Сен-Венана для
псевдоцилиндра
§ 13. К обоснованию принципа Сен-Венана для псевдоцилиндра
§ 14. Вариационная постановка задачи на сечении
§ 15. Основные свойства элементарных решений
Сен-Венана. Построение матрицы жесткостей
§ 16. Решения Сен-Венана в случае малой «крутки»
Заключение
Литература
Приложение
Введение
Теория стержней и стержневых систем своими корнями уходит в ХУП, ХУШ века и тесно связана с развитием математики в целом, особенно с такими ее разделами, как дифференциальное, интегральное и вариационное исчисления, спектральная теория операторов. Основы для её развития заложили Галилей, Мариотт, Гук. Последующее её развитие в Х¥Ш-Х1Х веках связано с именами выдающихся математиков, механиков и физиков, таких как Яков Бернулли, Эйлер, Лагранж, Кулон, Навье, Коши, Сен-Венан, Кирхгоф, Клебш и др. [21-23,42,47,54,55].
Одним из основных факторов, стимулирующих развитие теории, был и остается широкий спектр приложений. С первых шагов инженерной деятельности человечество широко использует стержни в качестве элементов конструкций. В строительстве это балки, колонны, арки, элементы ферм и каркасов высотных зданий. Стержни являются основными несущими элементами в конструкциях кораблей, самолетов, ракет. Они используются в качестве волноводов и резонаторов в современных устройствах и приборах, в качестве образцов при исследовании физико-механических свойств различных материалов. Лопасти винтов самолетов и вертолетов, сверла, винтовые пружины, камертон — все это стержни.
Важнейшей проблемой теории стержней является формулировка различных вариантов краевых задач, оценка области их применимости и развитие аналитических и численных методов их решения. Этой проблеме посвящены сотни работ. Достаточно подробные обзоры имеющейся литературы содержатся в [15,35,36,42,56]1.
Можно выделить два основных направления в развитии теории стержней, особенно в той ее части, которая касается вывода определяющих соотношений. Первое направление берет свое начало в работах Якова Бернулли и основано на априорном принятии гипотез относительно напряжен-
1 Елисеев В. В. Одномерные и трехмерные задачи в механике упругих стержней. Диссерт. д-ра физ.-мат. наук: 01.02.04. Л., 1991. 300 с.

Как показано в [44]. если линию действия перерезывающей силы <3 = *1<3п + *223 перенести параллельно так, чтобы она прошла через точку А с координатами жоъ х02, то крутящий момент в сечении обратится в ноль. Поэтому точку А принято называть центром жесткости. Для сечений с двумя осями симметрии очевидно, что центр жесткости совпадает с центром тяжести сечения.
Компоненты главных векторов и главных моментов напряжений, соответствующих остальным элементарным решениям будут следующими:
Qj2 = О, М2 — М%2 — О, М2 2 = —EI2,
Qj4 = 0, Мы = —Eli, М24 = М34 = О,
Q15 — Q25 — О, Q35 = ES, Mj = 0, (4.30)
Qj6 = 0, Miß = М26 = 0, М36 = 2цс?4.
При выводе этих формул были использованы соотношения
J da§dS = 0, — J хадаФ dS — 2 J Ф dS — d.
S SS
Докажем первое из приведенных равенств (а = 1) (остальные получаются аналогично). Имеем

J дФ dS = — J щФ ds = J ~Ф ds
s ds as as
дФ dS = s as as
в силу граничного условия (4.20).

ж2— ds = 0 ds