Моделирование деформирования микрополярных призматических тонких тел с применением системы полиномов Лежандра

• Автор: Улуханян, Армине Рафаеловна
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 150 с. : ил.

Литературный обзор о моделировании напряженно-деформированного состояния в упругих телах
Одной из важных задач современной промышленности является постоянная забота о снижении веса конструкций при сохранении надежности ее работы. В этой связи представляется необходимым для полного исследования реального напряженно-деформированного состояния рассматривать теории высоких (второго, третьего и т.д.) приближений, геометрическую и физическую нелинейность, моментные (микроморфные, микрополярные, микроконтинуальные с растяжением-сжатием) теории деформируемого твердого тела, а также уточненные способы сведения трехмерных задач к двумерным. Очевидно, новое механическое содержание приводит к новым задачам, нуждающимся в математическом исследовании и моделировании.
В настоящее время известно несколько методов построения теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций. Например, в случае однослойных пластин [10,45,111,124,128,135], эти методы основаны на:
1) гипотезах о напряженном и/или деформированном состояниях;
2) разложении всех геометрических и механических величин в ряды;
3) асимптотическом интегрировании;
4) представлениях о двумерных средах.
Эти методы различаются возможностями использования в практических расчетах, уровнем математической строгости и т.д. И в то же время они приводят трехмерные системы уравнений в частных производных, которые описывают механическое поведение реальной конструкции, к двумерной, т.е. при расчете многослойных конструкций решают систему двумерных дифференциальных уравнений в частных производных.
Первый метод, который еще называют гипотетическим методом [97], ближе всего к инженерным представлениям. Исходная задача упрощается после

принятия определенных допущений (гипотез). Такие гипотезы связаны прежде всего с именами Кирхгофа Г. [117], Рейснера Е. [127], Генки X. [115], Тимошенко С.П. [33,35-37], Амбарцумяна С.А. [7-10], Левинсона М. [119], Пелеха Б.Л. [71,73], Хорогауна Л.П. [100,101], Черных К.Ф. [108-110] и др. Различные кинематические модели представлены, например, в работе [120].
Второй метод связан с разложением в ряды по степеням поперечной координаты [116,121,126], разложением в полиномы Лежандра [59,86,96,99,123], [19-23,25,34,60,61], [11,72,74,75], [102-107], [1-6,27-32,47,51-54,65,134], разложением в ряды по системе заданных функций [15,16], разложением в многочлены Чебышева [65] и др. (эти разложения с одинаковым успехом используется для построения любой теории тонких тел). При таком подходе возникает проблема механической интерпретации членов разложений выше второго порядка.
Третий метод — асимптотическое интегрирование, предложен, например, в работах Гольденвейзера А.Л. [38-40, др.], Саркисяна [83,84]. В математическом плане оно приводит к равномерному приближению решения по всем элементам теории (кинематическим, силовым), так как рассматриваются всегда члены одинакового порядка.
Четвертый метод, основанный на представлении о двухмерных средах и называемый еще прямым методом [97], находит достаточно редкое применение, так как противоречит традиционным взглядам о представлении результатов расчетов в виде полей напряжений. Такое представление для двухмерных теорий - весьма трудоемкий, а иногда и невыполнимый процесс. О возможностях этого метода можно судить, например, но работам [124,136].
В принципе любую задачу теории оболочек можно рассматривать (решать) в трехмерной постановке, которая является более точной в сравнении с двумерной постановкой. Однако реализовать на практике эту возможность в требуемом объеме не удается вследствие чрезмерной сложности решения трехмерных задач и большого разнообразия практически необходимых постановок задач.
Поведение тонких тел, подчиняясь общим законам механики деформируемого твердого тела, зависит также от специфических присущих им закономерностей [25,76]. Вследствие относительной малости толщины сопротивление оболочки в поперечном направлении существенно слабее сопротивления в тангенциальных направлениях. Уравнения состояния механики трехмерного тела, в том числе и закон Гука, не учитывают этого обстоятельства. Поэтому их непосредственное использование в теории оболочек приводит к существенной ошибке [25]. Специфические закономерности деформирования тонких тел являются физической предпосылкой к построению новых теорий тонких тел.
Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования тонких тел, изготовляемых из

этих материалов. Оказалось, что классическая теория, которая до этого безраздельно господствовало в прикладных методах расчета тонкостенных конструкций, не способна удовлетворительно описать напряженно-деформированное состояние композитных тонких тел. В ряде случаев необходимость применения многослойных тонких тел вызывается конструктивными и эксплуатационными соображениями. Это очень важно при повышенных требованиях к безопасности конструкций, особенно в самолето- и ракетостроении, тем более, что прогресс вычислительной техники обеспечивает возможность проведения все более и более сложных численных расчетов.
В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых уточненных теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому построение уточненных теорий тонких тел и развитие эффективных методов их расчета являются важной и актуальной задачей.
Анализ опубликованных работ свидетельствует, что создание уточненных теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций продолжает активно развиваться. При этом нелинейные теории находят все более широкое освещение в литературе. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования. Широко применяются численные методы и дискретные расчетные модели.
Следует отметить, что классическая теория упругости довольно хорошо предсказывает поведение реальных твердых тел [82], находящихся под различной нагрузкой, во всех случаях, когда «зернистость» строения рассматриваемых реальных тел не является характерной. Однако классическая теория упругости оказывается не в состоянии удовлетворительно объяснить закономерности некоторых явлений, которые можно наблюдать в реальных упругих телах, не говоря уже о телах другой реологии. Например, с точки зрения теоретических решений классической теории упругости не удается объяснить и предсказать законы распространения коротких акустических волн в кристаллических твердых телах, поликристаллических металлах и высоких полимерах. Классическая теория также не дает достаточно удовлетворительной согласованности ее результатов с экспериментальными данными для тел с ярко выраженной по-ликристаллической структурой в условиях сложного напряженного состояния с большим градиентом напряжений. В частности, эта теория не может дать какого-либо вразумительного объяснения влиянию градиента напряжений на усталостные характеристики поликристаллических материалов. Следовательно, для объяснения этих явлений нужна новая модель твердого тела механики

(к)
ш ■
TV = О N = 1 N
(О) (О) (О)
(/)' = о (_/)' = О (Я
(1) (О) (1) (О)
(Я = 3/ (Я = 3/ (2) (1) (/у = 5
TV-3 7V = 4 7V = 5
(0) (0) (0)
Ь II о (/)' = о (/У = 0
(1) (0) (1) (0) (1) (0)
(Я = з/ (/У = з/ (/У = 3 /
(2) (1) (2) (1) (2) (і)
(Я = 5/ (/У = 5/ (/У = 5/
(3) (2) (0) (3) (2) (0) (3) (2) (0)
Ш' = 7(/ +Л (Я = 7(/ + Л (/У = 7 (/ + /)
(4) (3) (1) (4) (3) (4)
(Я = 9(/ + /) (/У = 9(/ + /)
(5) (4) (2)
(3.2.11)
(Я = !!(/ + / + /)

/ (0) л
(ШО
(fe) ,
(ШО ;
TV = 1 N — 2 TV
(°) , (°) , (о)
(ШО =0 (ШО =0 (ШО'
(!) , (!) (!) , (!) (1) , (1) (3) (1)
(ШО =3/ (ШО=3/ (ШО =з(/ + /) (ШО (2) , (2) (2) , (2) (2)
(ШО =15/ (ШО =15/ (ШО
. (3) ч/ (1) (3) (3)
(ШО =7(/+б/) (ШО
(4)

(1) (3)
= 3 (/ + /•)
(2) (4)
= 15(/ + /)
(1) (3)
= 7(/+6/)
(2) (4)
(ШО =9(3/+10/)
(3.2.12)