Задачи демпфирования динамических систем, связанные с использованием дробных производных

• Автор: Колесников, Максим Анатольевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 137 с.

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ
1. НАСЛЕДСТВЕННАЯ МЕХАНИКА, ОСНОВАННАЯ НА ДРОБНОМ ИСЧИСЛЕНИИ (ОБЗОР)
1.1. История возникновения дробного исчисления
1.2. Модели вязкоупругих сред, содержащие параметры дробности
1.3. Гармоническое деформирование
1.4. Методы решения динамических задач, связанных с использованием вязкоупругих моделей с дробными производными
1.4.1. Аналитические методы
1.4.2. Численные методы
1.5. Динамические задачи с использованием дробного исчисления
2. СВОБОДНЫЕ ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
2.1. Постановка задачи
2.2. Механический осциллятор на базе обобщенной модели стандартного линейного тела
2.3. Механический осциллятор на базе обобщенной модели Максвелла
2.4. Механический осциллятор на базе вязкоупругих моделей, содержащих несколько параметров дробности
2.5. Выводы по второй главе
3. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
3.1. Постановка задачи
3.2. Двухмассовая система на базе обобщенной модели Фойгта
3.3. Двухмассовая система на базе обобщенной модели Максвелла
3.4. Двухмассовая система на базе смешанных моделей
3.5. Выводы по третьей главе
4. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
4.1. Постановка задачи
4.2. Метод решения
4.3. Резонанс один-к-одному
4.4. Резонанс два-к-одному
4.5. Выводы по четвертой главе
5. КОЛЕБАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
5.1. Изгибные колебания вязкоупругой балки, лежащей на вязко-упругом основании
5.2. Продольные колебания вязкоупругого стержня
5.3. Удар вязкоупругого стержня о жесткую преграду
5.4. Выводы по пятой главе
ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
В настоящей диссертационной работе изучаются демпфирующие свойства различных механических систем, поведение которых описывается уравнениями, содержащими несколько независимых параметров дробности (порядков дробных производных). При исследовании линейных динамических процессов, протекающих в таких системах, используется метод преобразования Лапласа, причем в отличии от традиционных численных подходов, решение удается получить в аналитическом виде. Для анализа нелинейных динамических процессов используются методы возмущений в сочетании с разложением дробной производной по малому параметру.
Фундаментальный вклад в решение задач демпфирования динамических систем внесли: Работнов Ю.Н., Шермергор Т.Д., Мешков С.И., Рос-сихин Ю.А., Даринский Б.М., Постников B.C., Bland D.R., Bagley R.L., Torvik P.J., Caputo М., Mainardi F. и другие отечественные и зарубежные ученые. Применение вязкоупругих моделей, содержащих дробные производные и другие дробные операторы, в задачах демпфирования динамических систем рассматривалось в работах Россихина Ю.А., Россихина Ю.А. и Шитиковой М.В., Bagley R.L. и Torvik P.J.
Актуальность темы. В настоящее время возобновился интерес к дробному исчислению и его приложениям к механике сплошных сред. Это связано с тем, что дробным операторам соответствуют не дискретные значения времен релаксации (ползучести), а непрерывный спектр этих значений. Спектр времен релаксации (ползучести) в большей степени отвечает современным демпфирующим устройствам, в качестве которых используются многослойные обшивки, подложки, прокладки и т.д. Многослойные обшивки используются в различных летательных аппаратах для устранения вредных вибраций корпусов, подложки применяются при строительстве сейсмостойких сооружений, прокладки выступают в качестве гасителей колебаний различных механизмов. Наличие дополнительного параме-

Чтобы найти корни характеристического уравнения введем в уравнения (2.9д,2.9е) новые переменные [17]
Х — r2+"r“, Х2 = г2, Жз —тг13. (2.13)
Тогда для каждого фиксированного 0 < || < 7Г при lvq = 1 для данных 01,(3 ПОЛуЧИМ Следующую СИСТему уравнений ОТНОСИТеЛЬНО Х,Х2,Х?,
Х cos(2 + а)ф + Ж2 cos 2ф + жз cos (Зф + 1 — 0, (2.14а)
х sin(2 + а)ф + X2 sin 2ф + жз sin (Зф = 0, (2.146)

Х — £ж2Жд, (2.14в)
где £ = т*та 01.
Выразим х и Ж2 через жз
sin 2 ф sin(2 — в)ф sin(2 + а)ф sin(2 + а — (3)ф
XI = - Н :
sin аф sm аф sin аф sin аф
(2.15)
и подставим (2.15) в (2.14а). В результате получим уравнение относительно действительного положительного Жз

sin 2ф + жз sin(2 — (3)ф + £ж| [sin(2 + а)ф + жз sin(2 + а — (3)ф] = 0. (2.16)
Определив из (2.16) Жз и подставив его в (2.15), найдем значения х и Ж2- Затем из уравнений (2.13) получим г — ж]/2 и те = хаг~1~2/а.
Поведение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости в зависимости от те представлено на рис. 2.2 для £ = 1/9, (3 = 0.9. Цифры у кривых обозначают величину параметра дробности а.
Из рис. 2.2-2.4 видно, что для (3 > а поведение корней характеристического уравнения для данной модели похоже на поведение корней характеристического уравнения обобщенной модели Фойгта [87, 88]