Волны деформаций в цилиндрических оболочках и нелинейные эволюционные уравнения

• Автор: Землянухин, Александр Исаевич
• Шифр специальности: 01.02.04
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 164 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Аналитические методы исследования нелинейных
волновых уравнений
1.1. Метод Обратной Задачи Рассеяния и нелинейные эволюционные уравнения
1.2. Метод многих масштабов
1.3. Метод нормальных волн
1.4. Метод Хироты построения солитонных решений решений эволюционных уравнений
1.5. Свойство Пенлеве дифференциальных уравнений
1.6. Метод сингулярного многообразия
1.7. Связь метода Хироты и метода сингулярного многообразия
1.8. Связь рассматриваемых методов с преобразованием Бэклунда и задачей рассеяния для оператора Шредингера
1.9. Метод сингулярного многообразия и преобразования эквивалентности
1.10. Аналогия с симметрией и разделением переменных
1.11. Метод сингулярного многообразия и уравнение Риккати
1.12. Метод сингулярного многообразия и неинтегри-руемые уравнения
1.13. Метод функции перегиба
1.14. Связь метода функции перегиба и метода
- 3 “
сингулярного многообразия
Глава 2. Нелинейные продольные волны в цилиндрических
оболочках
2.1. Упругая оболочка
2.2. Нелинейно-упругая цилиндрическая оболочка
2.2.1. Динамика физически нелинейных оболочек: обзор исследований
2.2.2. Вывод модельных уравнений
2.3. Анализ волнового процесса в нелинейно-вязко-упругой цилиндрической оболочке
2.4. Неоднородная цилиндрическая оболочка
2.5. Преобразования Бэклунда и точные решения
неодномерных неинтегрируемых уравнений нелинейной волновой динамики
Глава 3. Эволюция сдвиговых волн в цилиндрических
оболочках
3.1. Нелинейно- упругая оболочка
3.2. Нелинейно-вязко-упругая цилиндрическая оболочка
Глава 4. Моделирование процесса распространения осесимметричных изгибных волн в цилиндрической
оболочке
4.1. Упругая оболочка
4.2. Учет потерь энергии
Основные результаты работы и краткие выводы
Библиографический список
Приложение

ВВЕДЕНИЕ
Последние годы отмечены значительным усилением интереса к решению нелинейных уравнений, возникающих в различных областях естествознания. Эта тенденция связана с созданием нового ме- тода математической физики - Метода Обратной Задачи Рассеяния (МОЗР) [1], а также развитием теории солитонов. Являясь решениями нелинейных эволюционных уравнений и обладая при этом свойствами частиц,солитоны представляют собой модельное воплощение корпускулярно - волнового дуализма, о котором говорил Луи де Бройль еще в 1923 году.
Как известно, в квантовой механике волновая функция ф, описываемая уравнением Шредингера, выступает не как физическая величина, а как определенный инструмент, пользуясь которым можно-вычислять вероятность того, что результат измерения будет тем или иным. Де Бройль выдвинул идею Двойного решения, состоящую в том, что с каждым непрерывным решением, несущим вероятностный смысл, должно быть связано сингулярное решение с точно такой же . амплитудой, фаза которого, однако, существенно отлична от нуля лишь в сингулярной области, соответствующей частице. Эта сингулярная волна рассматривается как физическая волна, описывающая одновременное совместное существование волны и частицы.
Взгляды де Бройля долгое время игнорировались практически всеми ведущими физиками нашего столетия. Поддержка, хотя и неявная, пришла в 1953 году, когда Ферми, Паста и Улам [1] численно исследовали поперечные колебания струны с учетом нелинейных членов - квадратичных относительно смещений. Целью исследований было наблюдение того, как благодаря нелинейным силам, возмущающим периодическое линейное решение, струна
основан на априорном задании соотношений между малыми параметрами задачи.
1.4. Метод Хироты построения солитонных решений эволюционных уравнений
Одним из важных направлений нелинейной волновой динамики является развитие методов построения точных частных решений уравнений в частных производных. Хирота получил много значительных результатов в теории уравнений, допускающих солитонные решения [1,132]. Метод Хироты построения солитонных решений эволюционных уравнений состоит в следующем:
1. Произвести замену зависимой переменной. Эволюционное уравнение должно принять так называемую билинейную форму, квадратичную по зависимым переменным;
2. Рассмотреть ряды теории возмущений для билинейного уравнения. Для солитонных решений эти ряды обрываются;
3. Использовать метод математической индукции для доказательства того, что полученная солитонная формула является решением исходного уравнения.
Рассмотрим в качестве иллюстрации два примера.
Уравнение КдВ
иь + б и их + иххх = 0. (1.4.1)
Хирота предложил представить решение (1.4.1) в форме
и = 2 1п Г , (1.4.2)

где Р - определитель некоторой матрицы. Подставляя (1.4.2) в (1.4.1), получаем после однократного интегрирования