Устойчивость периодических гамильтоновых систем при многократном резонансе

• Автор: Джумабаева, Алия Амангельдиевна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. УСТОЙЧИВОСТЬ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПРИ
ОДНОВРЕМЕННОМ СУЩЕСТВОВАНИИ НЕСКОЛЬКИХ
РЕЗОНАНСОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
§ 1.1. Об устойчивости периодической системы при однократном
резонансе четвертого порядка
§ 1.2. Устойчивость периодических систем при наличии нескольких
независимых резонансов четвертого порядка
§ 1.3. Устойчивость периодических систем при взаимодействии
резонансов четвертого порядка
ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСОВ
ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
§ 2.1. Нелинейная нормализация периодических гамильтоновых
резонансных систем
§ 2.2. Случай независимых резонансов
§ 2.3. Взаимодействие резонансов по одной частоте
§ 2.4 Случай взаимодействия при наличии общей многочастотной
компоненты
ГЛАВА 3. СТАБИЛИЗАЦИЯ КОЛЛИНЕАРНЫХ ТОЧЕК ЛИБРАЦИИ В
СИСТЕМЕ ЗЕМЛЯ - ЛУНА ПОСРЕДСТВОМ ПОСТОЯННОГО
ПО МОДУЛЮ МАЛОГО РЕАКТИВНОГО УСКОРЕНИЯ
§ 3.1. Постановка задачи. Уравнения поступательно-вращательного
движения
§ 3.2. Положения относительного равновесия
§ 3.3. Необходимые условия устойчивости центра масс ОС
§ 3.4 Достаточные условия устойчивости ориентации спутника
§ 3.5. Нелинейный анализ устойчивости в случае внутренних
резонансов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Поскольку большинство задач механики описывается неинтегрируемыми системами дифференциальных уравнений, то исследование на устойчивость различных частных решений этих систем приобретает особый интерес. Как известно, теория устойчивости, созданная в основном выдающимся русским механиком А.М. Ляпуновым, наиболее полно разработана для установившихся и периодических движений, которые во многих задачах механики и техники представляют особый интерес.
Развитие аналитической динамики, теории нелинейных колебаний, теории автоматического регулирования и оптимального управления и некоторых новых направлений в науке и технике существенно расширили круг задач, которые приводят к необходимости исследования устойчивости периодического решения нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.
В данной работе рассматривается критический случай таких систем
х = A{t)x + X{t,x), х g Rn (0.1)
где (о-периодическая матрица A(t) такова, что все характеристические показатели линейной части системы Л
функция X(t,x) представляет собой совокупность нелинейных членов системы, представляющая собой абсолютно сходящийся ряд.
Такие системы представляют особый интерес, поскольку в первом

периода со от заданных коэффициентов старого гамильтониана и уже найденных коэффициентов < / - 1, которые при 1=т обращаются в
коэффициенты старого гамильтониана. Следовательно, если при / т найдется периодическое решение для всех Ф<т)(/), то при 1>т функции Ф(0(7) также
будут заданными со-периодическими функциями t.

Анализ уравнения (2.6) выявляет два различных случая: 1) X*

Лтт . _ п
и 2) X* ~ —Щ*- В первом случае, как видно, все С можно обратить в нуль, со
поскольку, как известно [32], для наперед заданных констант С(0уравнение (2.8) имеет единственное периодическое решение
- ---т.»}ех,,Ф(ЛЛ + }е“Ф"(г)<к
1 — в о о
Тогда, в новом гамильтониане останутся лишь те члены, для которых 2д". (О/
X* — — Щ* и С (О определяются однозначно. Это, в свою очередь, может со
иметь место либо в формах четного порядка, при |#| = ||/?|| (тождественный резонанс), либо при выполнении условий внутреннего резонанса (2.2).
Выясним структуру этих членов. Положим С{1)и)=с е ,
* 4 ' *
У (О