Об устойчивости эллипсоидальных фигур равновесия вращающейся жидкости

• Автор: Григорьева, Наталия Борисовна
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 История вопроса о существовании эллипсоидов равновесия
1.2 История вопроса об устойчивости эллипсоидов равновесия
1.3 О результатах и методе
2 Об устойчивости эллипсоидов Якоби и Дедекинда вращающейся жидкости
2.1 Об устойчивости эллипсоидов Якоби
2.2 Об устойчивости эллипсоидов Дедекинда
3 Об устойчивости эллипсоидов Римана вращающейся жидкости
3.1 Структура уравнений системы (1.1) (1.4)
3.2 Общая схема определения областей устойчивости и неустойчивости
3.3 Об устойчивости эллипсоидов равновесия первого семейства эллипсоидов
Римана
3.4 Об устойчивости эллипсоидов равновесия второго семейства эллипсоидов
Римана
4 Об устойчивости эллипсоидов Римана однородно- намагниченной вращающейся жидкости
4.1 Морфология системы
4.2 Структура уравнений системы (4.1.1) (4.1.5)
4.3 Об устойчивости эллипсоидов равновесия однородно-намагниченной вращающейся жидкости
5 О частичной устойчивости эллипсоидов Римана и об их устойчивости в смысле определения Ляпунова
5.1 О связи между частичной устойчивостью по отношению к (а, Ь) эллипсои-
дов Римана и устойчивостью их как форм равновесия в смысле определения Ляпунова
5.2 Некоторые замечание к вопросу о частичной устойчивости
5.3 Об устойчивости эллипсоидов Римана в смысле определения Ляпунова (1.11)

Глава 1. Введение
§ 1.1. История вопроса о существовании эллипсоидов равновесия.
Вопросы динамики однородной идеальной несжимаемой самогравитиру-юшсй вращающейся жидкости привлекали внимание многих исследователей, математиков и механиков. Основоположниками теории фигур равновесия вращающейся жидкости являются Маклорен, Якоби, Лиувилль, Дирихле, Дедекинд, Риман, Пуанкаре, Ляпунов и др [8-10,2,4,6,7]. Основные направления исследований в этой области — задача существования равновесных конфигураций вращающейся жидкости и задача устойчивости последних.
Отдельные результаты, касающиеся первой из этих задач в отношении тех конфигураций, которые являются эллипсоидальными, были получены Маклореном и Якоби; ими было установлено существование серий эллипсоидов, носящих теперь их имена [8,9]. Однако полное решение задачи существования эллипсоидов равновесия было дано позже, Дирихле и Ри-маном [4,10]. Дирихле исследовал движение жидкости под действием сил взаимного притяжения ее частиц по закону Ньютона для класса движений с однородной деформацией, т.с. в случае, когда перемещения выражаются линейными функциями координат (”общая постановка Дирихле”).
Он показал [4,10], что если в начальный момент поверхность жидкости эллипсоидальна и поле скоростей однородно-вихревое, то эти условия (”условия Дирихле”) будут выполнены и в любой последующий момент времени. Иными словами, в этом случае исходная система уравнений в обыкновенных и частных производных, описывающая динамику' рассматриваемой
жидкости, переходит в систему ОДУ для компонент завихренности {2ш (£), (t), 2LüS(t)), полуосей эллипсоида (а, Ь,с) и компонент угловой скорости (р, q, г) в подвижной системе отсчета. Приведем здесь указанную систему ОДУ в наиболее удобном для дальнейшего виде, получающемся из первоначального [4] с учетом условия постоянства объема жидкости, являющегося следствием уравнения несжимаемости: abc = const, где можем, без ограничения общности считать const = 1.
Имеем

—{Aip + А2Ш1) + q{CT С2Ш3) — r(J3iq +22) = 0 (1-1)
(pqr, одшгшз, АЛ С ) d (шЛ 2а 2а 2а(с2-Ь2) п
47 ( I T Ги2Ги;* + 7 л , 9w , = 0 (1-2)
dt a J а2 + Ь2 а2 + с2 (а2 + с2)(а2+Ы2) v '
(123, abc, pqr)
:д - - (Р - А)а! (1-3)
„ „ s
“ ( ' 1 ' ,С1+Ь2а ) 5 ' а2Ь3 2аЬ а3Ьг 2à2 аАЬ2 2 Ь2 Ь4а2
м Ы М а 1 2 àb 2 а2 2 Ь2
, а263/ 62а3 а3Ь3 а4Ь2 64а2

а262
(Q-ày)b2, (1.4)
шх = -~ шх - а f (а2 + Зс2)д2 + —гу(а2 + ЗЬ2)г2-
а (а2 + с2)2 (а2 + 62)2
4(а2 — с2) с2 4(а2-62)62 4а252 2 4а2с2
(а2 + с2)2 9Ш2 (а2 + 62)2 Шз + (а2 + Ь2)23 + (а2 + с2)2
(туг, abc, pqr) (1.5)
. M{b2-êf . AM ЬЧ 1 5 Ь2 + с2 ’ 2 — 5 Ь2 + с2
{PQR, abc), (1.6)
Видно, что все коэффициенты квадратичной формы в левой части условия (3.3.6) являются функциями По, Ьо> Іт/О зо, /-го/Сдо, 02() и (7|0. Подста-вляя в выражения (3.3.5) и (3.3.6) явный вид зависимостей (3.3.4), получаем в явном аналитическом виде условия, задающие в Р{ао, Ьо} область б' заведомо устойчивых эллипсоидов (3.3.1).
Определим теперь в Оц, {оо, Ь0} область О из § 3.2.
Каждая из систем (3.2.1), линеаризованная в окрестности ’’своего” положения равновесия г0:
8г.і = 2ш(20).у(/1(2)(55; (до)))<55й
где ||и;(2:о)!|у — матрица скобки (3.2.2) в точке До,— приводится к виду (3.2.4) простой диагональной заменой
{6г} -> {у(го)} = {тд = а,у2= ра,у3 = Ъ,уА= ръ;
8Є1 8Є2 81
ш ~ Щo,Ув ~ ~ ~ уИ
При умієте полученного выражения для формы К{2}(у, (д0)) нетрудно получить, что
и = и па#,
а,/3=1
где (а,/? = 1,2), задаваемые исходя из условия положительной определенности ограничения этой формы на лагранжевы плоскости в симплекти-ческом многообразии {у}, соответствующие плоскостям Ьа13(ра,рь, 80 а, 81») в исходных координатах. Используя явный вид функции7г(5; (до)); определенной второй формулой (3.3.2), получаем, что эти условия эквивалентны условиям положительной определенности (2 х 2) - матриц Ма@ следующего