Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике

• Автор: Борисов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 262 с. : ил

Содержание
Введение
Глава 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм
§ 1. Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли—Пуассона
1. Скобки Пуассона и их свойства
2. Невырожденная скобка. Симплектическая структура
3. Симплектическое слоение. Обобщение теоремы Дарбу
4. Пуассоновы подмногообразия. Ограничение скобки
5. Примеры неканонических скобок Пуассона. Системы с гироскопическими силами
6. Скобка Ли-—Пуассона
7. Приложения к механике
7.1. Уравнения Эйлера и геодезические на группе Ли (20). 7.2. Уравнения Эйлера—Пуассона (21).
§2. Уравнения Пуанкаре—Четаева
1. Уравнения Пуанкаре
2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре—Четаева
3. Уравнения Пуанкаре—Четаева на группе Ли. Естественная каноническая структура кокасательного расслоения группы Ли
4. Инвариантная мера
§ 3. Редукции пуассоновых структур
1. Понижение порядка — алгебраический аспект
2. Общая процедура редукции
3. Алгебраические алгоритмы редукции
4. Дополнительные замечания
§ 4. Показатели Ковалевской, квазиоднородность и гамильтоновость
1. Тензорные инварианты динамических систем
2. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской

3. Уравнения Гамильтона
4. Инвариантная мера
5. Примеры
5.1. Система типа Лотки—Вольтерра (44). 5.2. Обобщенная задача Суслова (44).
Глава 2. Динамика твердого тела
§ 1. Кватернионное представление уравнений движения
1. Параметры Родрига—Гамильтона
2. Уравнения движения
3. Представление на алгебре е(4)
§ 2. Метод Ковалевской—Ляпунова и интегрируемые случаи
1. Динамически несимметричный случай
2. Обобщение интеграла Гесса—Аппельрота
3. Случай динамической симметрии
4. Обобщение случая Ковалевской
5. Обобщение случая Делоне
6. Известные случаи интегрируемости
7. Неинтегрируемость и теоремы несуществования
§3. Линейные интегралы для кватернионных уравнений
1. Интеграл площадей N3 = (М, 7) = с = const
2. Интеграл N3 — М3 = (М, 7) — М3 = с = const
3. Интеграл М3 = с = const (интеграл Лагранжа)
4. Поднятие интегрируемых систем
4.1. Обобщение семейства Яхьи—Ковалевской (67). 4.2. Обобщенное семейство Горячева—Чаплыгина (69).
§ 4. Динамическая симметрия и интеграл Лагранжа
1. Интеграл Лагранжа на пучке скобок
1.1. Случай Лагранжа (71). 1.2. Случай Кирхгофа (72). 1.3. Случай Пуанкаре (72).
2. Волчок на гладкой плоскости в поле тяжести
3. Гироскоп в кардановом подвесе в осесимметричном поле
4. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта
5. Случай осевой симметрии в уравнениях Чаплыгина

§ 5. Изоморфизмы интегрируемых случаев
1. Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем Чаплыгина для уравнений Кирхгофа
2. Задача Якоби на трехмерном эллипсоиде и система Клебша— Переломова
Глава 3. Бигамильтоновы системы и представление Лакса—Гейзенберга
§ 1. Бигамильтоновы системы
1. Невырожденные бигамильтоновы системы
2. Вырожденные бигамильтоновы системы
3. Лиевы пучки
4. Метод сдвига аргумента
5. г-матрица
6. Примеры бигамильтоновых систем
§ 2. L — A-пары и бигамильтоновость: лиевы пучки
1. Многомерное обобщение волчка Эйлера
2. Многомерное обобщение случая Клебша
3. Система Жуковского—Вольтерра
4. Многомерные обобщения системы Ляпунова—Стеклова
4.1. Нестандартный матричный коммутатор (103). 4.2. Многомерное семейство Ляпунова—Стеклова (106).
§ 3. L - A-пары и бигамильтоновость: картановское разложение
1. Задача Бруна
2. Картановское разложение и согласованные семейства скобок
3. L — A-пара системы Бруна
4. Волчок Ковалевской и его обобщения
5. Построение интегрируемых систем на римановых симметрических парах
§4. Новая L — A-пара обобщенного волчка Горячева-Чаплыгина
Глава 4. Гамильтонова динамика вихревых структур
§ 1. Динамика точечных вихрей на плоскости
1. Динамика в абсолютных переменных

постоянные слагаемые, неустранимые заменой /j —> fi + с,, то говорят о непуассо-новском (негамильтоновом) действии группы Ли. Одно из возможных обобщений процедуры отображения момента в этом случае рассмотрено в § 8 гл. 4.
Восстановление закона движения в первоначальных переменных (абсолютное движение) может оказаться сложной проблемой если алгебра интегралов (3.7) некоммутативна (неразрешима). Во всех содержательных (физических) примерах, тем не менее, абсолютное движение удается восстановить с помощью простых квадратур.
4. Укажем еще один тип редукции неэквивалентный трем предыдущим, позволяющий получать новые интегрируемые системы из уже известных.
Рассмотрим гамильтонову систему на пуассоновом многообразии М (dim М = т)
ii — {xi,H}, i — i, обладающую инволютивным набором первых интегралов /Дж)
{/«> Н} — 0, {*,£}= 0,i,j = l,...e. (3.10)
Допустим, что первые к координат образуют замкнутую подалгебру относительно скобок Пуассона
{я», hjj(.Ti,..., жд,), ij j — 1,... к) (3.11)
а оставшиеся m — к переменных коммутируют с интегралами и гамильтонианом:
{у»,Н} = {vp,fj} = 0, p = fc + l,...,m, i = l,...s. (3.12)
Выражая функцию Гамильтона Я через переменные x,...,xk, yk+i, ■ ■ ■ ,Ут, и полагая = const, получим редуцированную систему на пуассоновой
структуре (3.11)
где Яге^(ш) Я(х, у)|у_с*
Функции Я,-, выраженные через (х, у = с), определяют инволютивный (в структуре (3.11)) набор интегралов системы (3.13)
/<(*) = Мх,У)у=с, » = 1,...,«. (3.14)