Качественный анализ движений неавтономных динамических систем

• Автор: Степенко, Николай Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.09, 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 85 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. РАВНОМЕРНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ НЕ-
АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ПО НЕЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
1.1. Исследование условий диссипативности по обобщенно-однородному первому приближению
1.2. Представление первого приближения согласно
канонической структуре силовых полей
1.3. Равномерная диссипативность некоторых классов двумерных систем
ГЛАВА 2. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭВЕНТУАЛЬ-
НОЙ ДИССИПАТИВНОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНБ1Х СИСТЕМ
2.1. Анализ влияния высокочастотных колебаний на
диссипативные системы
2.2. Случай возмущений колебательного типа с неограниченными амплитудами
2.3. Некоторые условия эвентуальной диссипативности неавтономных двумерных систем
ГЛАВА 3. КРИТЕРИИ ДИССИПАТИВНОСТИ КОЛЕ-
БАТЕЛБНБ1Х СИСТЕМ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
3.1. Равномерная диссипативность нестационарных
колебательных систем

3.2. Условия сохранения равномерной диссипатив-
ности при наличии внешних возмущающих воздействий
3.3. Об одном способе построения функций Ляпунова для нелинейных колебательных систем
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
БИБЛИОГРАФИЯ

ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время теория устойчивости движений систем обыкновенных дифференциальных уравнений стала одной из основополагающих теорий современной математики. Новейшие достижения в разнообразных областях механики, физики, техники, химии и биологии привели к необходимости решать проблемы, связанные с изучением нелинейных явлений и последующей реализацией заданных или прогнозированием уже существующих режимов функционирования различных объектов. Известно также, что на практике осуществляются процессы устойчивые в том или ином смысле. Все это в свою очередь и послужило толчком к интенсивному развитию теории устойчивости.
Другим направлением научных исследований, разрабатываемым особенно бурно, в связи с созданием современных вычислительных средств, является применение широкого комплекса математических моделей при описании и изучении сложных процессов. Это связано с тем фактом, что на практике без применения вычислительного эксперимента в большинстве случаев невозможно получить достаточно четкое представление о рассматриваемом явлении. Однако следует отметить, что отправной точкой в математическом моделировании все-таки является создание математических моделей, описываемых в том числе и с помощью дифференциальных уравнений, и разработка математических методов исследования изучаемого процесса.
Как правило, математические модели, создаваемые для различных сложных процессов, описываются существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений, и т.к. во многих системах, которые изучаются современной наукой, возникают устойчивые состояния различных типов, то и вопрос о качественных свойствах этих систем является одним из фундаментальных вопросов

+йр22
1 + X*
/2(2) +
/ №0 с/2(х2)

/ с1

«+А:
1 + х (1 + х)2

2гЛ 2 )

1 + Х '
при выполнении условий теоремы полностью удовлетворяют'условиям теоремы Иосидзавы.
-Аналогично'формулируется и доказывается теорема для случая Рп < 0, Р22 = 0. Для этого в условиях теоремы 1.9. достаточно поменять местами Л и /2.
Рассмотрим теперь, в области ||Х|| > А, функцию V (хьх2) = ж“ + Х2 + хх — 1*1X21,
где а, /3, 7, 5 — положительные рациональные числа с четными числителями и нечетными знаменателями, удовлетворяющие неравенствам
— + — > 1, 7 < а, 6 < /3.
а )3
Будем также предполагать, что р и д — положительные числа.
Лемма 1.1. Функция Р(х1,х2) является положительной в некоторой области ||Х|| > А тогда и только тогда, когда выполняются неравенства
р а — 5 р — 70 „
- + |—т<1, - + 7<1
7 р — о а — 'у о
Доказательство. Достаточность. Очевидно имеем, что
Р(*1,ж2) > *1 + *2 + ЗдЗд — 1ж1ж21-