Математические методы исследования устойчивости семейства систем дифференциальных уравнений с последействием

• Автор: Купцов, Сергей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 90 с.

Содержание.
Введение
Обозначения
Глава 1. Некоторые свойства матриц
Глава 2. Оценка радиуса локальной устойчивости системы по параметрам
Глава 3. Анализ устойчивости гироскопической системы с одним запаздыванием
Глава 4. Абсолютная устойчивость линейной системы
дифференциальных уравнений с последействием по запаздываниям
Заключение
Литература

Введение.
За последние 45-50 лет теория систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом нашла многочисленные приложения в самых разнообразных областях механики, физики, биологии, технических и экономических наук. Особенно велики приложения к теории автоматического регулирования и к теории колебаний. В связи с быстрым развитием и расширением областей приложения уравнений с отклоняющимся аргументом естественно возрастает и интерес к ним. За этот период опубликовано, наверное, тысячи работ, в которых рассматривались данные объекты, создавался аппарат их исследования, вводились все новые и новые обобщения. Было бы бессмысленно перечислять все эти работы, так как в каждой из них имеется что-то такое, что не было освещено во всех предыдущих. Однако очевидно, что все вместе они как раз и образуют ту громадную теорию, на которой основано исследование данных математических объектов и их свойств, а также их применение в конкретных областях науки и техники. В данной работе нас, прежде всего, будет интересовать вопрос сохранения линейной системой свойства асимптотической устойчивости по Ляпунову при вариациях параметров данной системы, а именно, вариациях элементов матриц системы и ее запаздываний. Сразу заметим, что в главе 2 нами будут получены явные оценки на вариации этих величин, при выполнении которых данное свойство будет иметь место. Причем, процедуры, которые мы будем использовать, не будут требовать от нас проверки условий Эрмита-Билера (см., например, [12]) или

других известных условий, для проверки которых необходимо построение не только самой характеристической функции, соответствующей данной системе уравнений, но и ее производной.
Маленький экскурс в историю начнем с проблемы устойчивости.
В работах многих ученых, как наших современников, так и тех, кто стоял у истоков теории дифференциальных уравнений, можно найти проблему, связанную с таким важным для системы свойством как зависимость ее решений от начальных данных и параметров.
Ответ на вопрос о непрерывной и непрерывно-дифференцируемой зависимости решений системы дифференциальных уравнений
X = f(t,x,y)
от значений начальных данных (оЧо) и параметров у впервые был дан независимо друг от друга Пикаром (см. Дарбу [25]) и Бендик-соном [22]. Что вместе с теоремой, известной как теорема Гейне-Кантора, о равномерной непрерывности заданной и непрерывной на компактном множестве функции (см., например, [9]), по-видимому, подтолкнуло А. М. Ляпунова, введя естественное обобщение на тот случай, когда некоторое решение системы определено на всей полуоси 10, сформулировать для него понятия устойчивости и асимптотической устойчивости [11]. Самим Ляпуновым в этой работе было предложено несколько различных способов решения данной проблемы. В частности, один из методов опирается на понятие положительно определенных функций, которые в некотором смысле определяют ’’меру” или ’’степень” отклонения возмущенного движения системы от заданного невозмущенного движения той же системы. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости были обращены В. И. Зубовым [8], и, таким образом, предложенный А. М. Ляпуновым подход является критериальным.
В [11] была доказана и основная качественная теорема теории

Учитывая данное замечание, вернемся к рассмотрению функции (7(А) на множестве ЯеА О, |Л| > Я. Определим число ад > 0:
Заметим, что од заведомо принадлежит интервалу (0,1). В против-
отсюда следовало бы неравенство (т„ + 1)Яп — (Я + До)п 0, а вместе с ним и противоречие с (2.17).
Представим квазиполином g(A) в виде
Тогда согласно следствию 1.1 и (2.17) получим, что на множестве ИеА 0, |А| > Я будет справедлива оценка
Наконец, выбирая последовательность точек А3 (в = 1, 2
Сделаем еще одно предположение. Пусть §(А) не имеет чисто мнимых корней, в этом случае в силу только что доказанного
причем, то (7(0). Выберем г > 0 как решение уравнения Т(г) = то-В этом случае, действуя теми же методами, что и при рассмотрении уравнения Т(Я) — (7 о, получим, что на множестве 11еА 0, |А| г будет выполнено (7(А) тй. Пусть А = г + ||А|| + ЦТЦ + + ||Пта||. Выберем и зафиксируем величину а > 0, подчинив ее требованию
а+\В1\(1-е~ак') + --- + \Вт\(1-е-а) «С ?/Дп + — — Д (2.18)
V 7~п
ном случае, если бы оказалось, что ад = т„(1 + АоЯ 1)” — тп 1, то
(7(А) > (1 - »о)|А|" > (1 - а0)Яп = Т(Я) (7(0).
ГЩ — гшп С(ш) = пип С(ш) > 0,
оо,+оо)