Асимптотические задачи теории разбиений

• Автор: Якубович, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 83 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
§1. Краткий исторический обзор
§2. Структура работы и краткое описание результатов
Глава 1. Мультипликативные семейства мер
§1. Понятие мультипликативности мер на разбиениях
§2. Примеры семейств мультипликативных мер па разбиениях
§3. Схема исследования асимптотики мультипликативных статистик
Глава 2. Равномерная статистика па разбиениях целого числа па различные слагаемые
и симметричные мультипликативные статистики
§1. Основные результаты
§2. Распределения па большом ансамбле разбиений
§3. Переход от большого ансамбля разбиений к малому
Глава 3. Связь непрерывных решеток с решетками непрерывных разбиений
§1. Введение
§2. Решетки измеримых разбиений
§3. Основная конструкция
§4. Непрерывная гиперкоиечная решетка разбиений и факторы
§5. Асимптотическая задача
Указатель обозначений
Список литературы

Введение
0.1 Краткий исторический обзор
В настоящей работе изучаются асимптотические свойства ряда комбинаторных объектов, в число которых входят разбиения натуральных чисел и разбиения множеств. Под асимптотическими свойствами совокупности объектов понимаются свойства объекта, типичного для этой совокупности. Мы рассматриваем множество однородных объектов, скажем разбиения числа п, выбираем случайным образом {с равной вероятностью) один из них, и ищем свойства, имеющие место с подавляющей вероятностью при больших п. В диссертаций указывается возможный способ решения задач такого типа для широкого класса комбинаторных объектов и рассматривается ряд примеров, для которых удается явно найти указанные свойства. При этом необходимо отмстить, что мы ищем свойства, характеризующие объект в целом, а не какие-то его частные характеристики.
Прежде чем описывать более подробно содержание работы, приведем небольшой исторический обзор раздела математики, который можно условно назвать асимптотической комбинаторикой. Заметим, что литература по ней очень обширна и привести се подробный здесь обзор не представляется возможным; мы упомянем лишь некоторые результаты, которые в той или иной степени предшествовали появлению вопросов, рассматриваемых в диссертации. Основоположником асимптотической комбинаторики является Л. Эйлер. Он первым всерьез занялся изучением разбиений натуральных чисел и, в частности, нашел формулу для производящей функции количества р(п) разбиений числа п
и установил ряд тождеств, связанных с разбиениями. Именно результаты Эйлера лежат в основе этой теории. Дальнейшему развитию изучения разбиений чисел послужило нахождение Харди и Рамануджаном асимптотической формулы для р(п) во втором десятилетии XX века {[12]). В середине века Г. Радемахер [18] уточнил их результат, представив р(п) в

виде быстро сходящегося ряда. Их работы подробно изложены в книге К. Чавдрасехарапа {40). Результаты Харди, Раманужданаи Радемахера сыграли историческую роль в развитии аналитической и алгебраической теории чисел.
Величину р(п) можно рассматривать как статсумму для равномерной статистики на разбиениях. Однако, определенный интерес представляют и другие статистики. Аналогии ные результаты для них (или, другими словами, для иных комбинаторных объектов) были получены различными авторами, см. [36]. Они дают возможность отвечать на вопросы, сколько существует комбинаторных объектов того или иного типа, одна.ко они не дают никакого представления о том, каковы эти комбинаторные объекты. Этот вопрос можно уточнять различными способами, но общая схема конкретизации вопроса о виде комбинаторных объектов обычно заключается в следующем. Пусть задано семейство комбинаторных объектов, каждому из которых естественным образом соответствует натуральный ранг. Среди всех объектов ранга, п выберем случайным образом один (каждый с равной вероятностью) и исследуем какие-то его характеристики, которые можно рассматривать как случайные величины. Закономерность поведения этих случайных величин при росте п (если таковая существует) и будет описывать “общие свойства” выбранных для изучения объектов. В описанную схему укладывается очень широкий спектр вопросов асимптотической комбинаторики.
Следующим этапом в развитии асимптотической комбинаторики стало нахождение ответов на вопрос, сформулированный в предыдущем абзаце, конкретизированный для специальных задач. Одними из первых задачи такого типа стали изучать венгерские математики под руководством Эрдёша. В течении продолжительного времени (1940-70-е годы) они исследовали различные функционалы от разбиений. Они изучили широкий ряд функционалов, в частности, детально описали распределения максимальных слагаемых. Сложность и количество полученных ими результатов не позволяют привести их в этом обзоре, см. [10] и список литературы в этой работе; некоторые из их результатов приведены в главе 1. Отметим, что они существенно использовали комбинаторику этих разбиений, и поэтому их методы и результаты не переносятся на другие случаи.
Помимо задач о разбиениях натуральных чисел не меньший интерес, представляют аналогичные зада.чи о других комбинаторных объектах. (Чаще всего их также можно рассматривать как задачи о разбиениях натуральных чисел, которые выбираются с неравномерной вероятностью, как и делается в диссертации.) Одним из первых (в середине XX века) результаты такого рода получил В. Г. Гончаров [31], который, используя метод производящих

В этой главе мы заново доказываем и уточняем это утверждение, показывая, насколько она-отклоняется от своего предельного значения.
Пусть d - натуральное число. Мы употребляем обозначение t = (ij, І2 ? - , td). предполагая, что 0 < it < ti < < td (0 < £i для симметричных разбиений). Если f(L) функция
вещественного аргумента, то для краткости мы будем писать /(1) — (/(ti), /(2)
Єц=Міі)_ШМУ, , і

где к = шах{г. j), а
= (2-5)
2 СО = , , t + п(1 + е (2.6)
і є1-

is = у (2.7)
для строгих (матрица D) и
(2.8)
-41- <2-9>
h3=h3(s) = i--2Li2(l-s) (2.10)
для .9-симметричных разбиений (матрица £>s). Для равномерной статистики на разбиениях (случай s — 1) формулы упрощаются: h(t) = = ггу — 1п(1 — е-(), Д3 - 7г2/3
всех рассматриваемых случаях матрицы D и Ds положительно определены (см. ниже), и поэтому найдется единственная положительно определенная матрица В такая, что В2 = D~l и единственная положительно определенная матрица Bs такая, что В 2 — Ds~r.
Теорема 2.1. При всех d > 1 и 0 < h < < ід,распределения вектора
по отношению к мере р№ слабо сходятся при п —> оо к стандарт,ному d-мерному нормальному распределению.
Теорема 2.2. При всех s > 0, d > 1 и 0 < t-i < < td,распределения вектора (cr(n))_1/2Ss(t(A) — g(t))no отношению к мере /4" слабо сходятся при п —V оо к стандартному d-мсриому нормальному распределению.
1 рубо говоря, теоремы 2.1 и 2.2 утверждают, что после вычитания из верхней границы диаграммы Юнга сс среднего значения, “правильной” нормировкой по оси ординат будет