Дифференциальный метод оценки некоторых типов финансовых инструментов

• Автор: Муравей, Дмитрий Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 178 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава 1. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива.
§1. Постановка задачи
§2. Эллиптическое уравнение в бесконечной полосе. Потенциалы и
Функция Грина
§3. Класс ограниченных граничных функций М0
§4. Классы кусочно-гладких граничных функций М'
§5. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива
§6. Вычислительные эксперименты
Глава 2. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского опциона Марграбе.
§1 Постановка задачи
§2 Эллиптическое уравнение в бесконечной полуплоскости. Потенциалы и Функция Г рина
§3. Класс ограниченных граничных функций М0
§4. Классы кусочно-гладких граничных функций Мх
§5. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского опциона
Марграбе
§6. Вычислительные эксперименты
Глава 3. Оценка некоторых европейских обязательств и другие приложения дифференциального метода.
§1. Стоимость опциона “Lookback”
§2. Стоимость облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса - Ингерсолла - Росса
§3. Стоимость облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла - Константинидиса
§4. О задаче времени первого достижения двумерным гауссовским процессом прямоугольной границы
Список Литературы

Введение.
Общая характеристика работы.
Актуальность темы. В связи с динамичным развитием финансового инструментария и возрастанием биржевых операций исследование математических моделей стоимости ценных бумаг и задач принятия решений при их покупке или продаже становится всё более актуальным. Исследование подобного рода задач было начато Башелье[1], Блэком, Шоуллзом [2], Мертоном [3], Хестоном [4] и другими. С описанными выше моделями так же тесно связаны задачи оценки инвестиционных проектов, что отражено в работах Диксита, Пиндика[5], МакДональда, Сигела[6], Виленского, Лифшица, Смо-ляка[7] и других авторов. В диссертации изучаются несколько типов ценных бумаг: бесконечные американские опционы на два актива, опцион
“Lookback” и облигации с переменной процентной ставкой. Особое внимание уделяется методам построения оценок стоимости указанных выше ценных бумаг. Задачи оценки опционов и других ценных бумаг изучались в течение длительного времени. В рамках теории финансового рынка Блэка-Шоуллза исследовалось большое количество ценных бумаг. Исследованием европейских опционов занимались Блэк, Шоуллз и другие. Модели облигаций с переменными процентными ставками рассматривались Васичеком [8], Коксом, Ингерсоллом, Россом [9], Блэком, Карасинским [10], Константинидисом [11] и другими. Стоимости некоторых экзотических опционов, а также опционов с однородными обязательствами были получены Ширяевым [12], Гербером, Шиу [13] и другими. Броуди, Детемпл [14], Марграбе [15], Ким [16], Джонсон [17] и другие занимались исследованиями американских и европейских опционов на несколько активов. В рамках описанной выше модели рынка, нахождение стоимости ценной бумаги сводится к вычислению математического ожидания платежа по ценной бумаге. Весомый вклад в развитие методов их вычислений внесли Колмогоров [18], Гирсанов [19], Ширяев, Баше-лье, Ито[20] и другие. Существует два подхода к вычислению математического ожидания: мартингальный и дифференциальный. Мартингальный подход основывается на построении специального мартингала, позволяющего посчитать искомое математическое ожидание. Данный подход подробно описан в работах Гербера, Шиу [21] и Ширяева. Дифференциальный подход заключается в постановке краевой задачи для уравнения в частных производных, решением которого является искомое математическое ожидание. Развитием этого подхода занимались Колмогоров, Феллер[22], Бюттлер [23], Кокс, Ингерсолл, Росс, Блэк, Шоуллз и другие. Основная проблематика данной работы - применение дифференциального метода для получения оценок стоимостей опционов и облигаций. В свою очередь, аппарат данного метода опирается на работы Ильина, Калашникова, Олейник [24], Жиро[25], Фике-ры[26], Паламодова [27], Миранды [28], Хёрмандера [29].
Цели исследований. Исследование методов, позволяющих получать оценки стоимостей ценных бумаг. Представление полученных оценок в виде, позволяющем применять численные методы.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации подробно исследован дифференциальный метод, применение которого позволило получить ранее неизвестные оценки стоимости ряда ценных бумаг. В частности, получены нижние оценки стоимости для бесконечных американских опционов на два актива (альтернативный опцион, опцион Марграбе), оценка облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла-Константимидиса. В качестве демонстрации данного метода были найдена оценка стоимости опциона “ЬоокЬаск”(ранее была получена мар-тингальным подходом Гербером и Шиу[13]) и оценка стоимости облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса-Ингерсолла-Росса( ранне была получена методом автомодельных замен Бюттлером[23]). Так же в процессе исследований была решена задача поиска распределения времени первого достижения прямоугольной границы двумерным гауссовским процессом.
Методика исследований. В работе используются методы теории вероятностей, действительного и комплексного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, операционного исчисления, теории функций и функционального анализа, специальных функций и методы численной оптимизации.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в качестве анализа принятия решений на биржевых торгах и при оценках инвестиционных проектов. Также результаты работы могут быть использованы для дальнейшего исследования некоторых вероятностных распределений в задачах финансовой математики.
Апробация. Результаты работы докладывались на конференциях Ломоносовские чтения в 2008, 2009 и 2010 годах, V международной конференции по исследованию операций (ЖМ 2010, и Тихоновских чтениях в МГУ в 2010 и 2011 годах.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в рецензируемых работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, включающих в себя в совокупности 16 параграфов и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 178 страниц.
Основное содержание работы.
Во введении приведены постановки исследуемых задач, приложения рассматриваемых типов задач, обоснована актуальность исследования, описана методика исследования, коротко изложено содержание диссертационной работы, отражена научная новизна работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, и приведена информация об апробации результатов.

pWtf+x-£ELy)-tf)(x-££Ly) |Г-

R(k)

Ml +cc

ехр[(+ад)]
Д(А)
й?£<
[ x'"le~fadx = — Г(у), Re д, Re v > 0 о J«’'
CM. [61, 3.381.4]

- a 4Г1 Щр+4i

< Const.
Абсолютная сходимость второго интеграла доказывается аналогично. Рассмотрим теперь частные производные по переменной у :
(Go* 2s(y2 СУ2 сг2 4(72 (72

Ж,д /Д+_Д_
«-УН-тЬ + и

/J-++—
4cr, (Т2

2(Уг
(1-PWJ

I Мх-У + Я-ЧЪ-У) <Т2 <Уг
A:+cosflexp[(y9 + R(A:))]
/ ,n,.s
lR(k)
<*2>'
д22?2 +
CT2 (72

+cosf-lexpr(/3-R(A:))"] 2,—LiJ
lR(k)
Докажем абсолютную сходимость интегралов, это будет означать непрерывность (О0 *(р)у, так как все остальные слагаемые непрерывны по доказанному
выше. Доказательство проведём для первого интеграла, случай второго интеграла рассматривается аналогично.