Применение методов теории групп к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати

• Автор: Егоров, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Долгопрудный
• Количество страниц: 113 с.

Введение
1. Обоснование выбора темы исследования. Настоящая работа посвящена разнообразным проблемам теории и приложений в задачах управления, матричных и операторных уравнений Риккати. Основное ее содержание составляет применение методов теории групп Ли к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати.
Выбор уравнения Риккати в качестве объекта исследования не случаен. Оно встречается при решении многих задач теории управления. Это уравнение, кроме того, с самого своего появления в 1724 году* является объектом пристального внимания ученых различных специальностей. Достаточно напомнить замечательный результат Ж. Лиувилля, который показал, что скалярное уравнение
~ + ау2 = Ьха, ах
где а, Ь и а — постоянные, интегрируется в квадратурах лишь при условии, что постоянная а представима в виде
т = ±1, ±2.

а = 1-2 т'
При всех других значениях а решение уравнения не может быть выражено квадратурами от элементарных функций.
В настоящее время название ’’уравнение Риккати” обычно применяется к любым системам обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. Каждая новая идея в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений непременно апробировалась на уравнении Риккати. Например, при работе над теорией нелинейных суперпозиций Софус Ли показал, что скалярное уравнение Риккати является наиболее общим уравнением первого порядка, которое имеет фундаментальную систему решений.
Давно замеченная связь уравнения Риккати с группой дробно-линейных преобразований**, его геометрическая природа и проективные свойства определяют причины, по которым уравнения этого типа с неизбежностью возникают в различных и далеких друг от друга областях естествознания (алгебраическая геометрия [25], теория конформных отображений [29], теория вполне интегрируемых гамильтоновых
*1 История появления статьи итальянского ученого Якопо Франческо Риккати, подробно описана, например, в книге М.И. Зеяикина ’’Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении” М.: Факториал - 1998.
**См., напр., [49]
систем [35], применение теории Бэклунда в квантовой теории поля [24], вариационное исчисление [25; 66; 67] и теория оптимального управления [2; 3; 14; 34; 36; 38; 45]).
Однако интерес к уравнению Риккати определялся не только внутренними потребностями математики. Исследование многих физических процессов показало, что роль уравнения Риккати определяется физической интерпретацией его решений. В теории упругих колебаний [22; 80], электродинамике слоистых сред [1; 5; 68], в теории многоволновых линий электропередач [24], в гидравлике трубопроводов [13], решение уравнения Риккати задает основной параметр линейной системы — импеданс или коэффициент отражения, матрицу рассеяния электромагнитных волн, либо стохастическую матрицу диффузионного процесса.
Принципиально новый этап в использовании уравнений Риккати при решении прикладных задач наступил в 50-е годы ХХ-го столетия. Возникновение и стремительное развитие теории управления породило массу принципиально новых математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния и т. д.). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати вида (см., например, [2; 32; 34; 36; 45; 53])
~ = P(t) + A{t)X+XB(t)+XR(t)X, (1)

где A{t), B(t), P(t) и R(t) — заданные квадратные матрицы, а X — искомая матрица.
Ряд задач из теории управления приводит к уравнения вида (1), но с постоянными матрицами А, В, Р и R. В этом случае актуальным оказывается вопрос о существовании, свойствах и единственности решения алгебраического уравнения Риккати
Р + АХ + ХВ + XRX = в, (2)
где в — квадратная матрица, все элементы которой являются нулями.
С развитием теории управления системами с распределенными параметрами возникла необходимость рассматривать различные обобщения уравнения (1) в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциальные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении диффузионными и тепловыми процессами (см., например, [14; 56]). Аналогичные краевые задачи Риккати необходимо изучать при решении оптимизационных задач для волновых процессов.
К настоящему времени сделаны лишь первые шаги в практическом решении этих краевых задач и их теоретическом исследовании. Некоторые вопросы теории уравнения Риккати в гильбертовых пространствах разработаны А. В. Балакришнаном [3]. Уравнения Риккати в других функциональных пространствах рассмотрены в работах (см., например, [38; 57].
Интенсивное развитие вычислительной техники породило множество новых идей, связанных с приближенными методами решений дифференциальных уравнений. Одна из них, предложенная в работе [9], лежит в основе метода прогонки решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в
систем [35], применение теории Бэклунда в квантовой теории поля [24], вариационное исчисление [25; 66; 67] и теория оптимального управления [2; 3; 14; 34; 36; 38; 45]).
Однако интерес к уравнению Риккати определялся не только внутренними потребностями математики. Исследование многих физических процессов показало, что роль уравнения Риккати определяется физической интерпретацией его решений. В теории упругих колебаний [22; 80], электродинамике слоистых сред [1; 5; 68], в теории многоволновых линий электропередач [24], в гидравлике трубопроводов [13], решение уравнения Риккати задает основной параметр линейной системы — импеданс или коэффициент отражения, матрицу рассеяния электромагнитных волн, либо стохастическую матрицу диффузионного процесса.
Принципиально новый этап в использовании уравнений Риккати при решении прикладных задач наступил в 50-е годы ХХ-го столетия. Возникновение и стремительное развитие теории управления породило массу принципиально новых математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния и т. д.). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати вида (см., например, [2; 32; 34; 36; 45; 53])
= P(t) + A(t)X + XB(t) + XR(t)X, (1)
где A(t), B(t), P(t) и R(t) — заданные квадратные матрицы, a X — искомая матрица.
Ряд задач из теории управления приводит к уравнения вида (1), но с постоянными матрицами А, В, Р и R. В этом случае актуальным оказывается вопрос о существовании, свойствах и единственности решения алгебраического уравнения Риккати
Р + АХ + ХВ + XRX = в, (2)
где в — квадратная матрица, все элементы которой являются нулями.
С развитием теории управления системами с распределенными параметрами возникла необходимость рассматривать различные обобщения уравнения (1) в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциальные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении диффузионными и тепловыми процессами (см., например, [14; 56]). Аналогичные краевые задачи Риккати необходимо изучать при решении оптимизационных задач для волновых процессов.
К настоящему времени сделаны лишь первые шаги в практическом решении этих краевых задач и их теоретическом исследовании. Некоторые вопросы теории уравнения Риккати в гильбертовых пространствах разработаны А. В. Балакришнаном [3]. Уравнения Риккати в других функциональных пространствах рассмотрены в работах (см., например, [38; 57].
Интенсивное развитие вычислительной техники породило множество новых идей, связанных с приближенными методами решений дифференциальных уравнений. Одна из них, предложенная в работе [9], лежит в основе метода прогонки решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в

где Е — бесконечномерная матрица тождественного преобразования.
Аналогичным образом решаем уравнение (3.35). Подставляем ряд (3.31) в обе части этого уравнения и, приравнивая коэффициенты при одинаковых Хп(х)Хт(х) в обеих частях полученного равенства, приходим к следующей бесконечной системе дифференциальных уравнений Риккати:

1 °°
Хпт(£) ~ АпКпт -Ь Ат А пт Н KniqiC[jKjTn, п, тп ~ 1,2,

qn = q{x)Xn{x)dx
Если теперь в дополнение к матрицам К и Л ввести еще и матрицу

(3.37)

(9ii
9nl 9п2

9i П Я2п
Я.ппг — QnQmi
то систему уравнений (3.37) можно переписать в матричной форме следующим образом
K(t) = AK(t) + K(t)A + jK(t)QK(i), 0 < t < T. (3.38)
При этом решение должно удовлетворять условию
К(Т) = Е, (3.39)
в котором Е — бесконечномерная единичная матрица. Очевидно, что уравнение (3.35) является частным случаем уравнения (3.38).
Если к обеим частям уравнения (3.38) применить операцию транспонирования, то оно перейдет само в себя. Поэтому если матрица К(t) является решением уравнения
(3.38) с начальным условием (2.39), то K*{t) — также решение той же задачи (3.38)-
(3.39). В силу теоремы единственности, отсюда следует, что K*(t) = K(t), т. е. решением задачи (S.85)-(S.S9) является симметричная матрица.
Приближенные решения полученных бесконечномерных уравнений (3.35) и (3.38) можно строить, ограничиваясь конечным числом слагаемых в представлении (3.31). Если предполагать, что приближения берутся в виде*
( К и К12 А'21 АТ22
KN(t)
К NX К N2

Kin О K2N О
Knn О О О

N=1,2
*Матрицу А'Л"(<) целесообразно брать бесконечномерной, чтобы удобно было сравнивать ее с исходной бесконечномерной матрицей К (I).